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一道競賽幾何題(卡關中)

一道競賽幾何題(卡關中)

在三角形ABC中,O為其外心,以線BC為對稱軸,作O之對稱點O’,
作線AH’垂直線BC,交外接圓O於點H’,
作三角形OO’H’之外接圓,與外接圓O交另一點E,
求證:線AE垂直線O’E

目前猜想路線為,
線AO延伸交外接圓於K,即證AEK為直角三角形,且O’在線KE上,
但卻循環論證中,想請教各位大神們,在下是否走向死路?
以及能否有其他想法能參考。

[ 本帖最後由 a54028 於 2022-7-1 10:22 編輯 ]

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2022-7-1 10:22

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回覆 1# a54028 的帖子

以下作法,供參
欲證命的,等同 \( \angle AEO' =90^\circ \)
將此角表表成其它圓周角相加減,即 (以下式子用 1 樓的圖形,當 AB,AC 的大小相反時,會有一些變化)
\( \angle AEO'=\angle AEH'-\angle H'EO'=\angle AEB+\angle BEH'-\angle H'EO' \)

其中
\( \angle AEB =\angle ACB = C \) (圓O之圓周角)
\( \angle BEH' =\angle BAH' \) (圓O之圓周角)
\( \angle H'EO' = \angle H'OO' = \angle OH'H \) (三角形OO’H’之外接圓之圓周角、內錯角)
\( \angle OH'H = \angle BH'H - \angle BH'O = \angle BCA - \frac12(180^\circ - \angle BOH') = C - (90^\circ -\angle BAH' ) \)

綜合以上 \( \angle AEO' = \angle AEB+\angle BEH'-\angle H'EO' = C+\angle BAH-(C - 90^{\circ} + \angle BAH)=90^{\circ} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2022-7-1 13:03 編輯 ]
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