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108高中數學能力競賽

108高中數學能力競賽

請教老師們這題要如何解?謝謝!!

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108學科能力測驗.png (84.05 KB)

2020-7-16 12:32

108學科能力測驗.png

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恩~~自己的問題自己回答!!

還請老師們指教這樣的思路是否有問題?

是否還有其他的想法呢?

謝謝

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108解答.png (335.09 KB)

2020-7-16 13:37

108解答.png

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108高中數學能力競賽

請教第四題
試證對於所有正整數\(n\),\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2\)

不等式的部分,謝謝各位老師

109.11.21補充
108高中數學能力競賽,h ttps://www.cysh.cy.edu.tw/files/14-1001-8644,r180-1.php (連結已失效)

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messageImage_1605076186912.jpg (120.48 KB)

2020-11-17 12:58

messageImage_1605076186912.jpg

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回復 1# tian 的帖子

先證 \(\displaystyle \frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)\)

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回復 2# thepiano 的帖子

老師您好:請問應該如何證明?
謝謝老師!

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回復 3# tian 的帖子

\(\begin{align}
  & n+1>\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \\
& 2\left( n+1 \right)>\left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \\
& n+1>\frac{\left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}{2} \\
& \left( n+1 \right)\sqrt{n}>\frac{\sqrt{n}\left[ \left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \right]}{2}=\frac{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}{2}=\frac{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}{2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)} \\
& \frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}}<\text{}\frac{2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)}{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}\text{=2}\left( \frac{\text{1}}{\sqrt{n}}-\frac{\text{1}}{\sqrt{n+1}} \right) \\
\end{align}\)

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108年桃竹苗區學科能力競賽

7.
已知\(\displaystyle 0<x\le \frac{\pi}{2},0<y\le \frac{\pi}{2}\)。設\(\displaystyle z_1=\frac{cosx}{siny}+\frac{cosy}{sinx}i\),且\(|\;z_1|\;=2\)。若\(z_2=\sqrt{x}+\sqrt{y}i\),則\(|\;z_1-z_2|\;\)的最大值為   
想請問老師們如何算

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7F7E1C9B-A7B9-4303-8BDC-1F9449B0D87F.jpeg (42.79 KB)

2020-12-12 14:47

7F7E1C9B-A7B9-4303-8BDC-1F9449B0D87F.jpeg

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回復 1# chupapa 的帖子

之前 Ptt math 板有討論,
有網友指出應為 \( |z_1|=\sqrt{2} \)
試算一下,確實可以得到比較漂亮的化簡
網頁方程式編輯 imatheq

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108新竹能力競賽筆試二

各位老師好,想請教一題
方程式\(x^5-x^3-x^2-x-1=0\)共有5個複數根,這些根的五次方總和為
答案:10

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回復 1# ak269640 的帖子

設\(\displaystyle f(x)=x^5-x^3-x^2-x-1\)
考慮\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\),直接做除法,所求為\(\displaystyle x^{-5}\)的係數
得到\(\displaystyle 5+2(x^{-2})+3(x^{-3})+2(x^{-4})+10(x^{-5})+\cdots \)
故得解為10

用遞迴也可以,不過3,4次方和不太好算,故放棄此方法

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