12. 一個與 thepiano 老師雷同的作法。
原題即: a, b, c 為非負實數,a + b + c = 1,求 a²b + b²c + c²a 的最大值。
解: 不妨設 a ≥ b,a ≥ c。因 a²b + b²c + c²a - (ab² + bc² + ca²) = (a-b)(a-c)(b-c),可進一步設 a ≥ b ≥ c,則 ab ≥ ac ≥ bc。
由排序不等式: a²b + b²c + c²a ≤ a²b + abc + bc² = b (a² + ac + c²) = b [ (a+c)² - ac ]
當 b 為定值時 (則 a+c 亦然),右式在 c = 0 時有最大值,且可取得等號。
故原題化為: 非負實數 a + b = 1,求 a²b 的最大值。則由 AM ≥ GM 得最大值 = 4/27。