引用:

原帖由 bugmens 於 2016-4-18 08:25 PM 發表
\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)？

這題不就是有名考古題?
印象中答案:7/4
算出來要花一些時間...

這簡直神技啊！

填充8
設\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a,b,c,d \in R\)且\(f(3+4i)=75i-100\)，\(f(7-24i)=7+24i\)，請問\(d=\)
[解答]
------------------------------------
提供一個今天朋友想到的方法
跟考古題一樣的技巧    (PS 如果用 xf(x) 解法會漂亮一點)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108
-------------------------------------

計算證明題6.
設\(\Delta ABC\)的邊長均為正整數，且全等的三角形視為同一種，則：
(A)周長為2013
(B)周長為2016
\(A\)和\(B\)情況哪一個的三角形比較多種，為什麼？
[解答]
但是這題只問兩者的大小，所以建立一一對應關係：

(a,b,c)→(a+1,b+1,c+1)

稍微判斷一下三角形兩邊和大於第三邊條件，可知邊長2013的三角形會和2016的三角形一樣多

ps:如果改成2016、2019就不一樣多了(2019比較多)

計算證明題1.
設\(ABCD\)為一凸四邊形，證明\(\overline{AB}\times \overline{CD}+\overline{AD}\times \overline{BC}\ge \overline{AC}\times \overline{BD}\)，並說明等號成立的條件。
[解答]
最近在書上看到一個蠻簡單漂亮的證明。

以A為反演中心，任取半徑r>0的反演圓。將B、C、D作反演得到B'、C'、D'
則B'C'=(BC*r*r)/(AB*AC)、B'D'=(BD*r*r)/(AB*AD)、C'D'=(CD*r*r)/(AC*AD)

由三角不等式B'C'+C'D'>=B'D'
化簡即得到AB*CD+AD*BC>=AC*BD

等號成立條件為B'、C'、D'共線，即ABCD共圓

計算證明題4.
設\(\Gamma\)為一拋物線，\(P\)為\(\Gamma\)外一點，\(F\)為焦點。自\(P\)作\(\Gamma\)的切線，令其切點為\(A,B\)，證明\(\angle AFP=\angle BFP\)。
[解答]
做出準線
分別過A、B做準線的垂線，交點分別為C、D
拋物線定義AF=AC
光學性質得到AP為角FAC的平分線
故AP為FC的中垂線
PF=PC
同理PF=PD
故PC=PD
角AFP=角ACP=角ADP=角BFP

請益老師最後一個5/6(E+1)要怎麼解釋???
一直想不通 謝謝

先丟出1個點數後，接下來有5/6的機率丟出跟此點數不同的點數，視為重新丟出1個點數，但期望值多1

請教填充1,4跟計算2,5

填充第1題
設\(2\le n \le 1999\)，試問有多少個正整數\(n\)，使得存在大於1的正整數\(a,b\)且滿足\(log_a n=b\)？
[解答]
a^b = n，a>1，b>1，2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2，a = 2 ~ 44，計 43 個
(2) b = 4、6、8、10，a^b = n 都是平方數，與 (1) 同，不計
(3) b = 3，a = 2 ~ 12，扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2，計 9 個
(4) b = 5，a = 2 ~ 4，扣掉 4^5 = 32^2，計 2 個
(5) b = 7，a = 2，計 1 個
(6) b = 9，a = 2，2^9 = 8^3，不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個

填充第4題
設\(x,y,z\)為正整數，且\(xyz=2^{12}\cdot 3^2\)，求\(x+y+z\)可以被4整除的機率。
[解答]
\(xyz={{2}^{12}}\times {{3}^{2}}\)
數對(x，y，z)有\(H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}\)組
x+y+z是4的倍數，有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數：有\(H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(2)只有1個是4 的倍數，另2個只是2的倍數而非4的倍數：有\(C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(3) 1個是\({{2}^{12}}\times 3\)，另2個是1和3：有3!種情形
所求\(\begin{align}
  & =\frac{H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}+C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}+3!}{H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}} \\
& =\frac{32}{91} \\
\end{align}\)