第19題
\( \displaystyle a=\frac{tan \theta-sec \theta+1}{tan \theta+sec \theta-1} \)，若\( a \)是\( x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0 \)的解，求\( sin \theta= \)　　　。

我算出兩個解 怎麼判斷負的是不對的呢？再麻煩各位 謝謝

您式子中的\( \displaystyle t=\frac{1+a}{1-a}\)，應是\(\displaystyle t=\frac{1-a}{1+a}\)
不過小弟覺得這題的\(\sin \theta \)應該也可以是\(\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{3}\)才對啊？

請教12與16
謝謝^^~

第 12 題
已知\( \Delta ABC \)中，\( ∠BAC=40^{\circ} \)，\( \overline{AB}=8 \)，\( \overline{AC}=6 \)，若\( D,E \)分別在\( \overline{AB} \)及\( \overline{AC} \)上則\( \overline{BE}+\overline{DE}+\overline{CD} \)最小可能的值為　　　。

作 B 關於 AC 的對應點 B'
作 C 關於 AB 的對應點 C'
所求為 B'C'，連 AB' 和 AC'，再用餘弦定理

第16題
求\( \displaystyle y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \)和\( y=\sqrt{2x^2-1} \)所圍成的區域繞\( x \)軸旋轉的旋轉體體積為　　　。

\(\left( \int_{1}^{5}{{{\left( \sqrt{2{{x}^{2}}-1} \right)}^{2}}dx-\int_{1}^{5}{{{\left( \frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}dx}} \right)\pi \)

第9題
周長為10的直角三角形，其面積的最大值為　　　。

請問有其他的解法嗎？

我的解法:
令2股為\(a,b\)，解面積的極大化問題，在周長=10的條件下。
微分算一皆條件=0。

兩股長a、b，斜邊長c
\(\begin{align}
  & {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\
& c\ge \sqrt{2}\sqrt{ab} \\
\end{align}\)

由算幾\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

\(\begin{align}
  & a+b+c\ge \left( 2+\sqrt{2} \right)\sqrt{ab} \\
& \sqrt{ab}\le \frac{10}{2+\sqrt{2}} \\
& \frac{ab}{2}\le 25\left( 3-2\sqrt{2} \right) \\
\end{align}\)
以上等號都成立於\(a=b\)

(錯了，樓下鋼琴大有反例)負的應該"不合"

你可以把\(a\)整理成下面這樣比較容易看，則\(a<1\) 所以\(\displaystyle a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
-------------------------------------------------------------------------------------
註:下面分母大於分子時，該分數不一定小於1，要看分母的正負號。<---沒考慮到。
\(\displaystyle \frac{tan\theta-sec\theta+1}{tan\theta+sec\theta-1}\times
\frac{cos\theta}{cos\theta}\)
\(\displaystyle =\frac{sin\theta-1+cos\theta}{sin\theta+1-cos\theta}\)
\(\displaystyle =\frac{sin\theta-(1-cos\theta)}{sin\theta+(1-cos\theta)}\)

\(\begin{align}
  & \theta =-\frac{\pi }{4} \\
& \frac{\sin \theta -\left( 1-\cos \theta  \right)}{\sin \theta +\left( 1-\cos \theta  \right)}=\sqrt{2}+1>1 \\
\end{align}\)

提供另解
如圖，答案應該是正負皆可

12345.png (11.05 KB)

2015-7-15 10:35

16
請問老師, 這一題是要把以下這個式子積分出來嗎?
\( \displaystyle \int_{1}^{5}[\sqrt{2x^{2}-1}-(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2})]dx\)