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證明請教

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證明請教

設RT三角形ABC中,D為斜邊AB上的任意一點,求證: (CD*AB)^2 = (AD*BC)^2+(BD*AC)^2
並指出勾股定理是其特殊情形

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曾有老師提示過,中學常見的「幾何證題方法」有:(1) 綜合法 (2) 坐標法 (3) 向量法 (4) 三角法
這題用 "綜合法(利用相似形)" 或 "坐標法" 並不太複雜,不過用 "向量法" 可以精簡些。

由分點公式:

向量CD = (AD/AB)*向量CB + (BD/AB)*向量CA   

等號兩邊分別與自己內積:

CD² = (AD/AB)²BC² + (BD/AB)²AC²  

兩邊再同乘 AB²,即得:
(CD*AB)² = (AD*BC)² + (BD*AC)²
當 D 為 AB 中點時, 因 CD = AD = BD,故

AB² = BC² + AC² (勾股定理)

由證明過程,知 D 可為 AB "直線"上任一點。

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