謝謝冠老師。

等角點落在以MN為弦的一側圓弧上。
利用類似線性規劃的想法，圓與OB相切於P時，∠MPN最大，此時O在圓外。
由圓冪性質，OP² = OM*ON = 40
OP = 2√10

(題目可否不限制∠AOB是銳角?)

想請問這裡的等角點的定義....??(google 過仍不清楚 )
類似線性規劃的想法這邊也不懂...
可以請cafepime大再詳細說明嗎?(真是不好意思)
謝謝~

回復 13# 瓜農自足 的帖子

"等角點" 與 "類似線性規劃" 是我自己的說法，不好意思還讓您花時間去 google。

圖示如下:

104台北市陽明高中填充第10題.png (3.47 KB)

2015-6-4 20:33

在直線 OA 右下區的半平面上，滿足 ∠MPN = ∠MQN 的所有 Q 點都位於圓弧MPN上(不含 M, N)，其逆亦真。

我們先從 M, N 之間的點 S 出發 (此時 ∠MSN = 180°)，往右下漸漸縮小∠MSN 的值 (圓半徑漸小→MN成為直徑→圓半徑漸大)，過程中當圓第一次接觸 OB 時的點 (切點) 就是所求的 P 點。

利用圓冪性質，OP² = OM*ON，因此 OP = 2√10。

(題目限制∠AOB是銳角似乎是多餘的?)

另外，我覺得題目最好把 "OB 邊上" 改為"OB 射線上"，依題目的圖和敘述， "OB 邊" 似可解讀為"一線段"，這樣會有毛病。

填充4

我是這樣做. 將圖形座標化. O為原點, A(0,0,4), B(2,0,0) 則C為\((2\cos\theta, 2\sin\theta, 0)\)
1. 平面OAB的法向量\(\vec{n_1}=(0,1,0)\).
2. 平面ODC之法向量\(\vec{n_2}=\overrightarrow{OD}\times\overrightarrow{OC}=(-2\sqrt{3}\sin\theta,2\sqrt{3}\cos\theta,0)\)
3. 利用\(\vec{n_1},\vec{n_2}\)之夾角為\(\frac{\pi}{3}\), 得到\(\sin\theta\).

[ 本帖最後由 David 於 2015-5-24 11:07 AM 編輯 ]

不好意思, 第六題我連題目都看不懂............ 抛物線到直線的距離=圓到直線的距離?????
請問: 曲線到直線的距離是指????

[ 本帖最後由 David 於 2015-5-24 01:00 PM 編輯 ]

有誤不吝指正

原來是看最近的那個點，thanks!

請教計算第3題，感謝~

計算3. 計算 \( f'(x) = 3(x-1)(x+1) \)，可得 \( f(x) \) 在 \( x=-1 \) 處有極大值 \( f(-1) =2 \), 在 \( x=1 \) 處有極小值 \( f(1) =-2 \)。

當 \( -2 \leq a \leq 2 \), 方程式 \( f(x) = a\)  有三實根 \( \alpha, \beta, \gamma \)。

若 \( -2 \leq \alpha \leq 2 \)，則方程式 \( f(x) = \alpha \) 亦有三實根。

因此需要判別 \( \alpha, \beta, \gamma \) 是否會大於 \( 2 \) 或 小於 \( -2 \)

注意到 \( f(x) = f(2) = 2 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2 = 0 \) 及 \( f(-2) = -2 \)

當 \( |a| \neq 2 \) 時，由勘根定理知方程式 \( f(x) = a \) 之三根分在 \( (-2,2) \)，令其三根為 \( \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow f(x) -a = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \)
　　方程式 \( f(f(x)) - a = (f(x) - \alpha)(f(x) - \beta)(f(x)-\gamma) \)
       因 \( \alpha, \beta, \gamma \) 皆屬於 \( (-2,2) \)，故 \( f(f(x)) = a \) 有 9 個實根

當 \( a=2  (-2) \) 時，三根為 \( -1,2,2  ( 1,-2,-2) \)，雖有重根，但論述同上，亦有 9 實根。