這題中，題意中的三實根隱含了 \( p \) 必為非負

否則 \( p<0 \) 時, 3 次函數 \( f(x) = x^3 - px + q \)  為嚴格遞增函數，其導數恆正，此時原方程式僅有一實根。

提供一個另解. 從三次函數的圖形著手

\( f'(x) = 0 \) 之解為 \( x = \pm \sqrt{\frac p3} \)

改變 q 值，圖形上下移動，三根最小者有最小值的時候，圖形在 \( x = \sqrt{\frac p3} \) 處的極小值恰為 0，此時三根為 \( \sqrt{\frac p3}, \sqrt{\frac p3}, -2\sqrt{\frac p3} \)

同理，三根最大者有最大值的時候，圖形在 \( x = - \sqrt{\frac p3} \) 處的極大值恰為 0，此時三根為 \( -\sqrt{\frac p3}, -\sqrt{\frac p3}, 2\sqrt{\frac p3} \)

故 \( -\sqrt{\frac{4p}{3}} \leq a \leq \sqrt{\frac{4p}{3}} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-19 05:15 PM 編輯 ]

寸絲兄的思維總是能令我恍然大悟~條件藏在題意中竟然不覺，
還懷疑題目有問題，但其實不是，這壞習慣要多留意~

沒有這麼嚴重啦，原本我也是一樣的想法，以為題目漏條件了

看了好幾次，剛剛才突然想到

tsusy老師可請教一下
再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形是指以下這樣嗎??謝謝
(1) a+c=b+d=1  和a+c=b+d=-1
(2) a+c=-(b+d)=1 和a+c=-(b+d)=-1

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-15 10:31 PM 發表
1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 \( (b-d)x^2 - (b-d) \)

當 \( b =d \) 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身

當 \( b \neq d \) 時，其最高公因式必為 \( x^2 -1 \) 之因式，以因式定理檢 ...

想請問一下鋼琴大師或各位先進, 下面這個式子是怎麼來的? 或是什麼有名的不等式???
(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 ≧ (x + 1/x + y + 1/y)^2/2

[ 本帖最後由 David 於 2014-5-22 09:31 AM 編輯 ]

\(\begin{align}
  & {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\ge 2\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right) \\
& 2\left[ {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}} \right]\ge {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \right)}^{2}} \\
& {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\ge \frac{{{\left( x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)

2. #12 鋼琴兄用的應該是柯西不等式

\( \left[(x+\frac1x)^2+(y+\frac1y)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\geq(x+\frac1x+y+\frac1y)^2 \)

順帶來個另解
令 \( f(x)=(x+\frac1x)^2 = x^2+2+\frac1{x^2} \), 則 \( f''(x)=2 + \frac{6}{x^4}>0 \)

故 f(x) 在 (0,1) 上為凸函數(convex function), 由凸函數不等式有

\( \frac{f(x)+f(y)}{2}\geq f(\frac{x+y}{2})=f(\frac12)=\frac{25}{4} \)

且當 \( x=y = \frac12 \) 時等號成立

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:56 PM 編輯 ]

感謝兩位大師的說明!! 謝謝!!

回復 37# tsusy 的帖子
那我也來玩一下
令a=x+1/x ,b=y+1/y
代入"方均根不等式"
[(a^2+b^2)/2]^0.5>=(a+b)/2
可證出~

想請教有三實根的那題證明
若是由判別式<=0著手,會有27q^2+4(-p)^3<=0,
可推得p>=0,但後續該怎麼證??謝謝~