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103師大附中

回復 30# shmilypon 的帖子

哪裡有題目可以下載計算題

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原帖由 shingjay176 於 2014-5-7 08:57 PM 發表
哪裡有題目可以下載計算題
在10樓~

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回復 30# shmilypon 的帖子

計算題第一題,等等幫你貼上解答。
計算題第一題
若 \(C_0^{103} + C_3^{103} + C_6^{103} +  \cdots  + C_{102}^{103}=\frac{{{b^c} + d}}{a}\),且\(a,b,c,d\),為兩兩互質的正整數,求有序數組\((a,b,c,d)=?\)

(1) 考慮 \({x^3} - 1 = 0\)方程式下手,

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\
\Rightarrow x = 1\; \vee \;{x^2} + x + 1 = 0\\
\Rightarrow w = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 i}}{2},{w^2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 i}}{2},{w^3} = 1\\
\;\;\;\;\;{w^2} + w + 1 = 0
\end{array}\)

(2)
\[\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^{103}}\;\;\;\; = C_0^{103}{x^0} + C_1^{103}{x^1} + C_2^{103}{x^2} + C_3^{103}{x^3} + C_4^{103}{x^4} + C_5^{103}{x^5} +  \cdots  + C_{103}^{103}{x^{103}}\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;\;\; = C_0^{103}1 + C_1^{103}{w^1} + C_2^{103}{w^2} + C_3^{103}{w^3} + C_4^{103}{w^4} + C_5^{103}{w^5} +  \cdots  + C_{103}^{103}{w^{103}}\\
{\left( {1 + {w^2}} \right)^{103}} = C_0^{103}1 + C_1^{103}{w^2} + C_2^{103}{w^4} + C_3^{103}{w^6} + C_4^{103}{w^8} + C_5^{103}{w^{10}} +  \cdots  + C_{103}^{103}{w^{206}}\\
{\left( {1 + 1} \right)^{103}}\;\;\;\; = C_0^{103}1 + C_1^{103}{1^1} + \;\;\;C_2^{103}{1^2} + C_3^{103}{1^3} + C_4^{103}{1^4}{\rm{  }} + C_5^{103}{1^5}{\rm{ }} +  \cdots {\rm{ }} + C_{103}^{103}{1^{103}}\\
\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;{\rm{ + }}{\left( {1 + {w^{\rm{2}}}} \right)^{103}}{\rm{ + }}{\left( {1 + {\rm{1}}} \right)^{103}}\;\\
{\rm{ = 3}}\left( {C_0^{103}1} \right){\rm{ + }}\left( {C_1^{103}{w^1}{\rm{ + }}C_1^{103}{w^{\rm{2}}}{\rm{ + }}C_1^{103}{\rm{1}}} \right){\rm{ + }}\left( {C_2^{103}{w^2}{\rm{ + }}C_2^{103}{w^{\rm{4}}}{\rm{ + }}C_2^{103}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}} \right)\\
{\rm{ + 3}}\left( {C_{\rm{3}}^{103}1} \right){\rm{ + }}......{\rm{ + }}.......{\rm{ + }}...........{\rm{ + }}........{\rm{ + }}.....................................{\rm{ + }}\\
\;\;\;\;\;\;\; \vdots {\rm{          }}\\
{\rm{ + 3}}\left( {{\rm{C}}_{{\rm{102}}}^{{\rm{103}}}} \right){\rm{ + }}\left( {C_{103}^{103}{w^{103}}{\rm{ + }}C_{103}^{103}{w^{{\rm{206}}}}{\rm{ + }}C_{103}^{103}{\rm{1}}} \right)\\
{\rm{ = 3}}\left( {C_0^{103}1{\rm{ + }}C_{\rm{3}}^{103}1{\rm{ + }} \cdots C_{{\rm{1}}0{\rm{2}}}^{103}1} \right)\\
\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;{\rm{ + }}{\left( {1 + {w^{\rm{2}}}} \right)^{103}}{\rm{ + }}{\left( {1 + {\rm{1}}} \right)^{103}}{\rm{ = }}{\left( { - {w^2}} \right)^{103}} + {\left( { - w} \right)^{103}} + {2^{103}} =  - {w^2} - w + {2^{103}} = 1 + {2^{103}}\\
\\
C_0^{103}1{\rm{ + }}C_{\rm{3}}^{103}1{\rm{ + }} \cdots C_{{\rm{1}}0{\rm{2}}}^{103}1 = \frac{{1 + {2^{103}}}}{3}
\end{array}\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-7 10:47 PM 編輯 ]

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回復 33# shingjay176 的帖子

感謝您^^
方便請教計算的偵錯題嗎@@?
想了許久不知從何下手

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回復 34# shmilypon 的帖子

偵錯題第二題
問題:求 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}}\)=?
錯解:作區間\(\left[ {0,1} \right]\)的\(n\)等分分割,則\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}} = \int_0^1 {\frac{1}{{{x^2}}}dx = \left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)} \left| {_0^1} \right.\) 故極限不存在
解答
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n} \times \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdots  + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right\}\)
(1) 證明 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdots  + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

令 \(f\left( x \right)=\sin x\)求 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 的泰勒展開式
\(f\left( x \right)=f\left( 0 \right)+\frac{{f}'\left( 0 \right)}{1!}x+\frac{{f}''\left( 0 \right)}{2!}{{x}^{2}}+\frac{{f}'''\left( 0 \right)}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}\left( \delta  \right)}{n!}{{x}^{n}}\ \ \ \delta \in \left( -\varepsilon ,\varepsilon  \right)\)
\(\begin{align}
  & f\left( 0 \right)=\sin 0=0\ ,\ {f}'\left( x \right)\ =\cos x\ ,\ {f}'\left( 0 \right)=\cos 0=1\ ,\ {f}''\left( x \right)=\sin x \\
& {f}''\left( 0 \right)=0\ ,\ {f}'''\left( x \right)=-\cos x\ ,\ {f}'''\left( 0 \right)=-1\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( x \right)=\sin x\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( 0 \right)=0 \\
& {{f}^{(5)}}\left( x \right)=\cos x\ ,\ {{f}^{(5)}}\left( 0 \right)=1\ ,\ \cdots  \\
\end{align}\)

(2)
\(\begin{align}
  & \sin x=\left\{ \frac{x}{1!}-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}-\frac{{{x}^{7}}}{7!}+\frac{{{x}^{9}}}{9!}-\frac{{{x}^{11}}}{11!}+\cdots  \right\} \\
& \frac{\sin x}{x}=1-\frac{{{x}^{2}}}{3!}+\frac{{{x}^{4}}}{5!}-\frac{{{x}^{6}}}{7!}+\frac{{{x}^{8}}}{9!}-\frac{{{x}^{10}}}{11!}+\cdots \ \ \ \ \ \ \ \ x\ne 0 \\
\end{align}\)

(3) 當 \(\frac{\sin x}{x}=0\) 方程式的根,顯然是\( \pm \pi , \pm 2\pi , \pm 3\pi , \pm 4\pi , \cdots \;\;\;\;\;\left( {x \ne 0} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \;1 - \frac{{{x^2}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{5!}} - \frac{{{x^6}}}{{7!}} + \frac{{{x^8}}}{{9!}} - \frac{{{x^{10}}}}{{11!}} +  \cdots \\
\;\; = \left( {1 - \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times  \cdots \\
\;\; = \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{2^2}{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{3^2}{\pi ^2}}}} \right) \times  \cdots
\end{array}\)
考慮\({{x}^{2}}\) 項的係數
\(\begin{align}
  & \frac{-1}{{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{2}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\cdots \cdots =\frac{-1}{3!} \\
& \Rightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots \cdots =\frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\
\end{align}\)
得證

(4)
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\}\)  
且 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\) 與\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\) 極限值皆存在
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\times \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=0\times \frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\
\end{align}\)       收斂到 \(0\)


學生錯誤的原因,\(\frac{1}{n}\) 很容易聯想到黎曼和 \(\left[ 0,1 \right]\) 區間做分割。
\(\Delta x=\frac{1-0}{n}\) ,分割點 \(\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\frac{4}{n},\cdots ,\frac{n}{n} \right\}\)
黎曼和的高是 \(f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\ ,\ f\left( \frac{1}{n} \right)={{n}^{2}}\ ,\ f\left( \frac{2}{n} \right)=\frac{{{n}^{2}}}{4}\ ,\cdots \)
黎曼和寫出來的式子是 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{n}}f\left( \frac{i}{n} \right)\) 。這個題目是 \(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{k}^{2}}}}\)  P級數求和


學生把這個題目當成黎曼和分割處理。底的部分 1/n, 是可以的。。
錯誤地方在黎曼和的高是用分割點代入。所以黎曼和寫出來的式子。不是這個題目要求的答案。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 10:00 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 Sandy 於 2014-5-5 07:19 PM 發表
可以問證明嗎?
第十題 證明如下圖檔

附件

IMG_20140508_152236.JPG (351.64 KB)

2014-5-8 15:23

IMG_20140508_152236.JPG

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回復 36# shingjay176 的帖子

偵錯題第一題
錯誤的地方出在,當等號成立時候,\(\sin x = \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \sin x =  \pm 2\)
等號根本不可能成立。

\[\begin{array}{l}
\;\;\;\;f\left( x \right) = \sin x + \frac{4}{{\sin x}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x + \frac{{ - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x{{\sin }^2}x - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \cos x{\sin ^2}x - 4\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 4\cos x\\
\Rightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 3} \right) = 0 \Rightarrow \cos x = 0
\end{array}\]
一階導函數判別遞增遞減,會發現在 \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\)   有最小值產生
\[\sin x + \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \min \;\;5\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 08:24 PM 編輯 ]

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回復 37# shingjay176 的帖子

偵錯1. 來個為了不想微分而算幾的技巧性算幾

\( \sin x+\frac{1}{\sin x}\geq2\sqrt{\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}}=2 \)

\( \frac{3}{\sin x}\geq3 \)

兩式相加得 \( \sin x+\frac{4}{\sin x}\geq5 \),且等號成立的條件皆為 \( x=\frac{\pi}{2} \)。
網頁方程式編輯 imatheq

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引用:
原帖由 GGQ 於 2014-5-6 04:20 PM 發表
抱歉,我其實有偷懶寫
正確應該是 H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1)-H(5,0)+H(5,0) 因為後兩項消除,我就沒寫出來了

B+C+D+E+F=5     的非負整數解   B
這樣思考,每一組組合數。會一對一對應一種排列的情形嗎?
例如\((A,B,C,D,E,F)=(0,0,2,1,2,0)\),會不會有兩種排列情形,對應這一種組合數

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 09:55 PM 編輯 ]

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想請教此題可否用夾擠定理呢?感恩。只是這樣算  1/1^2+1/2^2+...的極限值用夾擠定理就會出錯@@
所以還是問一下,...感恩
1/1^2+1/2^2+...+1/^2  >1/1^2+/2*3 +1/3*4+...+1/n(n+1)=(3n+1)/(2n+1)
1/1^2+1/2^2+...+1/^2 <1/1^2+1/1*2+1/2*3+....+1/(n-1)n=(2n-1)/n

(3n+1 )/ (2n^2+2n)  < 1/n *sigma 1/k^2 <(2n-1)/n^   
n-->無限大時,由夾擠定理,值=0
引用:
原帖由 shingjay176 於 2014-5-8 11:50 AM 發表
偵錯題第二題_
問題:求 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}}\)=?
錯解:作區間\(\left[ {0,1} \right]\)的\(n\)等分分割,則\(\sum\limits_{k = 1}^ ...

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