不好意思，還是不懂，可以麻煩老師再多說明一下嗎?
還有，填充 1 ，我是用建立座標系算出來的，想知道較佳的算法。

填充1.
設\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，直線\(L\)過\(G\)且分別交\(\overline{AB}\),\(\overline{BC}\)於\(M,N\)。若\( \vec{BM}=a \vec{BA} \)，\( \vec{BN}=b \vec{BC} \)(其中\(a>0\)，\(b>0\))，則\(ab\)的最小值為　　　。

你可以先看一下 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1652&page=3#pid8927 回覆的前半段就是了。（令\(u=2x\)）

填充第 1 題：
填充1.
設\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，直線\(L\)過\(G\)且分別交\(\overline{AB}\),\(\overline{BC}\)於\(M,N\)。若\( \vec{BM}=a \vec{BA} \)，\( \vec{BN}=b \vec{BC} \)(其中\(a>0\)，\(b>0\))，則\(ab\)的最小值為　　　。
[解答]
設 \(\overline{AC}\) 的中點為 \(D\)，

則 \(\displaystyle \vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BD}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{BA}+\frac{1}{2}\vec{BC}\right)=\frac{1}{3}\vec{BA}+\frac{1}{3}\vec{BC}=\frac{1}{3a}\vec{BM}+\frac{1}{3a}\vec{BN}\)

因為 \(G,M,N\) 共線，所以 \(\displaystyle \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}=1\)

由算幾不等式，可知 \(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{1}{3b}}\Leftrightarrow ab\geq\frac{4}{9}\)

且當 "\(=\)" 成立時， \(\displaystyle a=b=\frac{2}{3}\)

因此，\(ab\) 的最小值為 \(\displaystyle\frac{4}{9}.\)

想請教老師 是非題 2、3，兩題的做法。

是非題2.
長短軸頂點、中心點、兩焦點，這7點之中有可能給三個點就決定橢圓。

是非題3.
設\( x \in R \)，\( |\; 2x-3 |\;+|\; x-5 |\; \le |\;x+2 |\; \)恆成立，則\( (2x-3)(x-5) \le 0 \)。

是非題第 2 題：

有「可能」，

例如，若給的點是「短軸上一頂點及兩焦點」，則可以算出半長軸長，

然後再按照定義求出橢圓方程式。

是非題第 3 題：

因為 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|\geq\left|\left(2x-3\right)-\left(x-5\right)\right|\) 恆成立，

且等號成立時，\(\left(2x-3\right)\left(x-5\right)\leq0\)

題目說 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|\leq\left|x+2\right|\) ，

搭配 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|\geq\left|x+2\right|\) 恆成立，

就是 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|=\left|x+2\right|\)

因此 \(\left(2x-3\right)\left(x-5\right)\leq0.\)

請教各位老師，是非第五題想法！

是非5.
設\(a,b \in R\)，已知\( -3<a<5 \)且\( -7<b<1 \)，則存在實數\(a\)、\(b\)使得\(a+b+ab=12\)。

是非5. 分解(好像也有人稱強迫分解)

\( a+b+ab = (a+1)(b+1)-1\)

謝謝tusy大大！簡單清楚，自已用根與係數反而更複雜！

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-17 22:39 發表
計算題第 2 題：

令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則

\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(7-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(6-t\right)^2+\left(3-\left(3-2t\right)\right)^2}+\sqrt{\left(5-\l ...

想請問老師，此題目能將所求PA+PB改為比例不相同嗎?
例如: 2PA+3PB

亦即是想請問
若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?

若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?

以下純粹個人臨時想法

如果是平面的情形,給定A,B兩定點且一動點P, 要求\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
因為平面上所有滿足\(\displaystyle \overline{PA}:\overline{PB}=n:m\)的動點P軌跡為一個圓
所以可以用圓的參數式,直接參數式假設P,硬算\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
不過這方法看起來很難算就是了 如果改成平方就有可行的空間了

空間的話應該就是軌跡是一個球,球座標爆下去做吧,不過感覺也是很難做.....

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