在銳角三角形\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}\)上的高\(\overline{CE}\)與\(\overline{AC}\)上的高\(\overline{BD}\)交於點\(H\)，以\(\overline{DE}\)為直徑的圓分別交於\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)於\(F\)、\(G\)兩點，若\(\overline{FG}\)與\(\overline{AH}\)相交於點\(K\)，且\(\overline{BC}=25\)，\(\overline{BD}=20\)，\(\overline{BE}=7\)，則\(\overline{AK}\)的長度？

設\(\displaystyle \frac{\pi}{12}\le z\le y\le x\)，且\(\displaystyle x+y+z=\frac{\pi}{2}\)，則\(cos x\cdot sin y\cdot cos z\)的最小值。

版上的老師好，

想和各位請教兩題，謝謝!

第一題
先得到 \( CE=24,CD=15 \)
於是 \(\displaystyle \sin B=\frac{24}{25},\cos B=\frac{7}{25},\sin C=\frac{4}{5},\cos C=\frac{3}{5} \)
那麼 \(\displaystyle \sin A=\frac{4}{5},\cos A=\frac{3}{5} \)
由正弦定理得到 \( AB=25,AC=30 \)
所以BC邊的高為 \( 24 \)
由圓內接四邊形對角互補知道 \( \angle{AFG}=\angle{ADE}=\angle{ABC} \)
以及  \( \angle{AGF}=\angle{AED}=\angle{ACB} \)
所以三角形AFG,ADE,ABC都相似
以及FG//BC
那麼AK就是三角形AFG中,FG邊的高
而   \(\displaystyle  \frac{FG}{DE}=\frac{DE}{BC}=\cos A=\frac{3}{5} \)
所以  \(\displaystyle AK=24 \times \frac{9}{25}=\frac{216}{25} \)

第 2 題
x ≦ 60°
cosx * siny * cosz = cosx * (1/2)[sin(y + z) + sin(y - z)] ≧ (1/2) * cosx * sin(y + z) = (1/2) * (cosx)^2 ≧ (1/2) * (cos60°)^2 = 1/8

引用:

原帖由 thepiano 於 2013-4-30 01:14 PM 發表
第 2 題
x ≦ 60°
cosx * siny * cosz = cosx * (1/2)[sin(y + z) + sin(y - z)] ≧ (1/2) * cosx * sin(y + z) = (1/2) * (cosx)^2 ≧ (1/2) * (cos60°)^2 = 1/8

想請問為甚麼sin(y-z)可以去掉然後當成一個下界

y 大於或"等於" z

謝謝老師
也謝謝thepiano老師

一直忘了觀察X可能的限制，所以卡住!
感恩!提醒我還要注意的地方!