回復 32# mathpigpig 的帖子
這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，
個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分
倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能
計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：
令 \( A(a,0) , B(0,b) \)，其中 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，則有 \( P \) 之坐標可為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \) 或 \( (a-\frac{b}{2},\frac{b}{2}-a) \)。
1. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \)，可得 \( b=\frac{4x-2y}{3} \), \( a=\frac{4y-2x}{3} \)。
\( (\frac{4x-2y}{3})^{2}+(\frac{4y-2x}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}-32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。
注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的1-1 onto 映射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。
2. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}-b,\frac{b}{2}-a) \)，可得 \( b=-\frac{4x+2y}{3} \), \( a=-\frac{2x+4y}{3} \)。
\( (-\frac{2x+4y}{3})^{2}+(-\frac{4x+2y}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}+32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。
注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的對射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。
綜合以上，軌跡為 \( \{(x,y)\mid 20x^{2}\pm32xy+20y^{2}=9\} \)，其圖形為兩橢圓。
[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-18 07:22 PM 編輯 ]
