那想請教一下如果最後不回到O..是否就無法用環狀著色來看了?就要用矩陣來解?THX~

第 n 步不回 O 的，不就是隨意走減去回 O 的

或者改成第 n 步走到 A,  那就是不回 O 的情況除以 4

即使稍作其它變動，一樣是有對應的著色問題，只不過不一定知道該著色問題的解而已

第 12 題因為有幾位朋友還是看不太懂我前面寫的式子，我再換個方式描述多一下好了~

令 p=(1-1/9)(1-1/16) 表示某一圈可以跑完的機率

期望值= （第一圈跑不完的話，所得的圈數）*跑不完第一圈的機率＋（第一圈跑得完的話，所得的圈數）*跑得完第一圈的機率

　　　= 0*(1-p) + (1+x)(p)

因此， x = 0*(1-p) + (1+x)(p)，可解得 x。





或是還是不懂的話，那換一個另解好了~

期望值 E = 0*(1-p) + 1*p*(1-p) + 2*(p^2)(1-p)+......

上式左右同乘 p ，可得

E*p = 0*p*(1-p) + 1*p^2*(1-p) + 2*(p^3)(1-p)+......

兩式相減，可得

E*(1-p) = p*(1-p) + (p^2)(1-p) + (p^3)(1-p)+......

　　　　= (首項)/(1-公比)

　　　　= p(1-p)/(1-p)

→ E = p/(1-p) = 5

請問老師
填充14的教師會連結已失效
可以指導這題如何做嗎 ?
謝謝

第 14 題：

設 \(n=2^a\cdot 3^b\cdot p_1^{c_1}\cdots p_r^{c_r}\)

其中 \(r\) 為正整數，\(a,b,c_1,\cdots,c_r\) 為非負整數，\(p_1\cdots p_r\) 為大於三的相異質數，

則，依題意可得

\(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)\cdot\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=28\)

\(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)\cdot\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=30\)

因為 \(28\) 與 \(30\) 的最大公因數為 \(2\)，所以 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)\) 只有可能是 \(2\) 或 \(1\)

case i: 若 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=1\)

　　　　則 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)=7\cdot4\) 且 \(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)=6\cdot5\)

　　　　可得 \(6n\) 的正因數個數為 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+2\right)=7\cdot5=35\) 個

case ii: 若 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=2\)

　　　　則 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)=14\) 且 \(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)=15\)

　　　　解得 \(a,b\) 非整數，不合。

由 i & ii，可知 \(6n\) 的正因數個數為 \(35\) 個。

第 14 題
2n 的質因數分解中，2 的次方比 3n 的質因數分解多 1
2n 的質因數分解中，3 的次方比 3n 的質因數分解少 1

28 = 7 * 4
30 = 6 * 5
僅有以上這組符合

n = 2^5 * 3^3

想請問~
我一直想不通
相鄰不同色~
這樣豈不是第一步跟第十步不一樣地方嗎? 怎麼踩的回去?

謝謝!!

引用:

原帖由 bugmens 於 2012-7-8 09:14 PM 發表
3.
滿足\( (m+n)^n=m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為

\( (m+n)^n=m^n+2320 \)，求所有可能的數對\( (m,n) \)為？
(100中壢高中，https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html)

試求出所有正整數m、n，使\( (m+n)^n=m ...

received_10153162864133188.jpeg (38.95 KB)

2015-3-17 16:42

第三題另解：\( 2012 = (m+n)^n - m^n \geq m^n +n^n -m^n = n^n \)

又 \( 4^5=1024, 5^5=3125 \)，所以 \( n \leq 4 \) ( \( n^n \) 在正整數中遞增)

\( n = 3,4 \) 的情況，可用立方差、平方差公式分解 \( (m+n)^n - m^n \) 而由 \( 3, 16 \) 非 2012 之因數，得 \( n = 3,4 \) 時 \( m \) 無整數解。

\( n = 1, 2 \)，同 weiye 老師，而得唯一解 \( (m,n) = (502,2) \)

討論了 4 個 n ，方法稍遜 weiye 老師一些。