不好意思想請教一下

101台中一中
https://math.pro/db/thread-1334-1-5.html
好像不是用和平方和立方合來導出四次方合

想請問要如何用和平方和立方合來導出四次方合呢?

另外想請教第九題

感謝老師們的指點

參考李政豐老師的大作
http://ppt.cc/Gwc-


第9題
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right) \\
& f\,'\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right) \\
& \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}+\frac{1}{1-e}=\frac{f\,'\left( 1 \right)}{f\left( 1 \right)} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-13 01:04 PM 編輯 ]

101 台中一中某題
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^5 = \sum_{k=1}^n\left(k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow (n+1)^5-1 = \sum_{k=1}^n 5k^4 + \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow 5\sum_{k=1}^nk^4 = (n+1)^5-1 - \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow \sum_{k=1}^nk^4 = \frac{(n+1)^5-1 - \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right )}{5} \)

將 1,2,3 次的公式代入得 \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^4 = \frac{n^5}5 + \frac{n^4}2 + \frac{n^3}3 - \frac{n}{30} \)

有更簡潔一點點的方法
用(k+1)^5-(k-1)^5
會把中間三次方的項消掉，化簡起來比較方便