填充題 7. 圓 C: x² + y² - 24x - 28y - 36 = 0 內有一點 Q (4, 2),過 Q 做直角三角形 AQB 交圓於 A、B 兩點,且 ∠AQB = 90°,若 AB 的中點為P,則 P 的軌跡方程式為?
(提供一個不用"神來之筆"的想法)
構想: 分析 P 滿足的條件 → 分析 P 的充要條件 → 得到 P 的軌跡方程式
由 P 是直角三角形的斜邊中點,聯想到: △ABC 中,M 為 BC 中點,則: AM = BM ⇔∠A = 90°
因此,P(x ,y) 的充要條件為:
PQ = (以 P 為中點的弦長) / 2
⇔ PQ² = - (P 對圓 C的冪) [ 引用 "冪" 只是為了簡化計算,並非必要。逕用畢氏定理亦可。]
⇔ (x - 4)² + (y - 2)² = - (x² + y² - 24x - 28y - 36) [ 圓的平方項係數 = 1 時,"代入" 即得 "冪" ]
⇔ x² + y² - 16x - 16y - 8 = 0