填充 6.
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)。若\(E\)為\(\Delta ABC\)的外心，則向量內積\(\vec{AE}\cdot \vec{BC}\)的值為　　　。
[解答]
令 \( \vec{u}=\vec{AB} \), \( \vec{v}=\vec{AC},  \vec{AE}=x\vec{u}+y\vec{v},  \vec{BC}=\vec{v}-\vec{u} \)

由外心(中垂線)可得 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{u}=\frac{1}{2}|\vec{u}|^{2} \) 和 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}|\vec{v}|^{2} \)

兩式相減，即為所求，得 \( \frac{1}{2}(6^{2}-4^{2})=10\)

填充6
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)。若\(E\)為\(\Delta ABC\)的外心，則向量內積\(\vec{AE}\cdot \vec{BC}\)的值為　　　。
[解答]
想提供另一種方法
所求=向量AEdot(向量AC一向量AB)=6X3-2X4=10

其實是一樣的式子

是小弟糊塗了...在那賣弄符號，進去死胡同了~呵~~

填充第7題
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
剛剛小弟試了一下
利用微分判別圖形的走勢，
先求出f'(x)=(ln2)*(3*2^(2x)-5)   這裡 ln 是自然對數
解出 當 x=(1/2) (log_2)(5/3) 時 (抱歉這裡很難看，就是以2為底...)
f'(x)=0, 所以當 x>(1/2) (log_2)(5/3) 時 圖形遞增，另一邊則遞減
所以f的圖形的走勢跟拋物線是很類似的，故得到
對稱軸即為 x=(1/2) (log_2)(5/3)

填充7
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
這題放一下小絕~

令f(x)=3*2^x+5*2^(-x)+7
g(x)=f(-x)=3*2^(-x)+5*2^x+7
可知f(x)與g(x)對稱於y軸
當x=0時,f(x)與g(x)交於同一點A(0,15)
過A點作平行線(y=15)交f(x)於B點
解3*2^x+5*2^(-x)+7=15
得2^x=5/3 (1不合)
x=Log_2 (5/3)即為B點的x坐標
所求為AB中垂線: x=(1/2)*Log_2 (5/3)

填充第4題：
4.
設\(a\)為實數，若函數\(y=log_a(-x^2+log_{2a}x)\)在\(\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}\)均為實數，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
令f(x)=-x^2 +(log_2a) (x) , 定義域限定在x>0
由題意知欲求 f(x) 在 (0, 1/2) 滿足f(x)>0 之a 的範圍
討論：
case(1)：如果2a>1, 觀察 x-->(0^+) 時 f(x)--> 負無限大
               由函數的連續性知存在一個開區間(0,b)使得 f(x) 的值恆小於0，無解
case(2)：如果2a<1, 先算出 f'(x)=(-2x)+ (1/ x* ln(2a) ) , 得到  x>0時 , f'(x)<0
               知 f 在 x>0 時為一嚴格遞減函數
               故只要 滿足 f(1/2) 大於等於0, 即可滿足所求
               解 f(1/2) 大於等於0, 得到 1/32 小於等於 a < 1/2
               即為所求。

不好意思,想請教填充第5題詳細解答,謝謝

5.
求積分\(\displaystyle \int_{4}^{+\infty}\frac{dx}{(x-2)^4\sqrt{x^2-4x+3}}=\)　　　。
[解答]

101 桃園農工填充第5題.jpg (54.15 KB)

2012-5-30 16:26

最後那一行其實就是在令一次變數變換 u=sin

填充 7.
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
觀看兩位老師的作法，都好像是預知對稱軸必為鉛直線

如果猜到此，其實好像就不難做，假設對稱軸是 \( x=a \)，將函數平移，使之移至 \( y \) 軸

\( g(x) =f(x+a)= 2^{a+\log_2 3} \cdot 2^x + 2^{-a+\log_2 5} \cdot 2^{-x} +7 \) 為偶函數

\( 2^x,  2^{-x} \) 係數相同時為偶函數，所以 \( a+\log_2 3 = -a+\log_2 5 \)

解得 \( a= \frac{1}{2} \log_2 \frac{5}{3} \)

不過無論以上哪個解法，都要先看出鉛直線這回事

這件事是否顯然，或是如何猜出。亦或是只有在下眼拙看不出來

你這方法還真令小弟開了眼界，
誠如你所說，也是有那麼一點預知的感覺，
老實說我對這些函數也是沒多大感覺....所以我是用微分看整個圖形的趨勢，大概抓水平切線的位置
若函數圖形有非鉛直的對稱軸，（這裡假設定義域是 R）
那麼是否只有方程式圖形才有辦法達到這個需求？（函數的話可能作鉛直線會有兩個交點？）
我想嘗試找反例，像 y=1/x 就有 y=x 為對稱軸，可是他的定義域要扣掉0
還是說有鉛直漸近線的函數才"有可能"產生非鉛直線的對稱軸？
是蠻值得討論看看......