8.
x為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？

若x為正數，求\( \displaystyle \frac{\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{x^4-2x^3+5x^2-4x+1}}{x} \)的最小值？
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽，h ttp://gifted.hkedcity.net/Gifted/IMO/index.html連結已失效)

lovestupid所提供的計算題第三題的文字敘述和原試卷相同
另外計算第五題的\( Γ_2:x^2+y^2=4 \)應該更正為\( Γ_2:x^2+y^2=64 \)

引用:

原帖由 lianger 於 2012-5-15 04:49 PM 發表
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \)，
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \) ...

這方法真漂亮，當初有嘗試把x關進根號，但沒有化簡到這一步，
這方法比較簡潔有力。

引用:

原帖由 bugmens 於 2012-5-15 06:54 PM 發表
8.
x為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？

若x為正數，求 ...

感謝告知，那lovestupid網友的第五題的點是否要改為\((4 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})\) 呢？因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的，

最後整篇的題目大致上都補的差不多了，在此獻醜分享給大家，有些題目也參考了其他老師的解法也特地附上註解。

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-16 10:05 AM 發表


感謝告知，那lovestupid網友的第五題的點是否要改為（4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢？因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的，

最後整篇的題目大致上都補的差不多了，在此獻醜分享給大家，有些題目也參考了其他 ...

填充10:
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為　　　。
[提示]
在裡面的解答用兩端平方,會造成增根的危險
其實這題的解只有x=-2
x=(-3-5^0.5)/2是不合的


竹女答案給錯了,多給了(-3-5^0.5)/2

都已經公佈初試名單了...冏...

(我有用mathematica再確認一次)

填充10
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為　　　。
[解答]
(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+b)(a-b)=(d+c)(d-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-b=d-c--------------(3)
(1)+(3)得 a=d ,解(x^2-x+2)^0.5=(x^2-3x-2)^0.5 ,得x=-2
(1)-(3)得  b=c ,解(2x^2+2x+3)^0.5=(2x^2-1)^0.5 ,得x=-2

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-16 09:44 PM 發表
填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+d)(a-d)=(b+c)(b-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-d=b-c ...

我的作法是
\(a-d=c-b\)分子有理化變成\(\displaystyle \frac{2x+4}{a+d}=\frac{-2x-4}{c+b}\)

所以\(x=-2\)若\(x\)不等於\(-2\)則分子約掉變成\(\displaystyle \frac{1}{a+d}=\frac{-1}{c+b}\)

整理可得\(a+b+c+d=0\)但\(a,b,c,d\)皆大於等於0且無法同時等於0  所以\(a+b+c+d\)不等於0

可確定只有\(x=-2\)一解

感謝樓上兩位的提醒，的確平方造成了增根，
代入原方程式剛好造成兩邊差一個負號，故
x=(-3-5^0.5)/2是不合的，當時只意識到只要滿足定義域即可，是個大疏忽

樓上的作法都蠻簡潔有力~推!
又長了一些知識......以後處理這一類問題要更加小心才是

想請教填充第五題一下!!!!!!!!

5.
若實係數多項式\(f(x)=x^4+(2-k^2)x^2-2k^2x+(1-k^2)\)且\(f(x)=0\)只有兩個相異實根，則\(k\)的範圍為　　　。
[解答]
\(\displaystyle f(x)=(x^4+2x^2+1)-k^2(x^2+2x+1) \)
\(\displaystyle =(x^2+1)^2-(kx+k)^2 \)
\(\displaystyle =(x^2+kx+(k+1))(x^2-kx+(1-k)) \)

謝謝大大的解答!!!!
想順便在問一下那如果遇到不能因式分解該怎麼辦???
如:
\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\)恰有2實根，求實數\(a\)的範圍??????