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回復 2# gamaisme 的帖子

請問填充第10與13怎麼做

填充第十用遞迴怎麼看規律

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回復 12# zero 的帖子

13.在正△內任取一點,向三邊做垂直線段,則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?

答 : \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

令正△ABC內一點 \(P\) 至 \(\overline{AB}\) 的距離為 \(h_c\) ,至 \(\overline{BC}\) 的距離為 \(h_a\),至 \(\overline{CA}\) 的距離為 \(h_b\)

則  \(h_a,h_b,h_c\)  中任兩段的長度和必須大於第三段的長度

不妨先假設 \(h_a\) 最大,而且 \(h_a < h_b+h_c\)

考慮其極端狀況,以描述 \(P\) 點的可行區域的邊界,亦即 \(h_a=h_b+h_c\) 的情況

因為△ABC是正三角形(三邊長相等),所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半

而得到 \(P\) 落在 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{AC}\) 的中點連線

由對稱性,可知 \(P\) 落在△ABC三邊的中點連線之中,其面積佔△ABC的 \(\frac{1}{4}\)

所以機率為 \(\frac{1}{4}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-10 05:07 PM 編輯 ]

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回復 5# kittyyaya 的帖子

原本公式是n個相異平面,可以隔出1+n+(n-1)n(n+1)/6個平面
其中1 = C(n , 0)
        n = C(n , 1)
        (n-1)n(n+1)/6 = C(n+1 , 3) = C(n , 2) + C(n , 3)

而n個相異直線分割平面也等於 : C(n , 0) + C(n , 1)+ C(n , 2)

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回復 12# zero 的帖子

10.  空間中10個相異平面,最多能將空間分割成幾個區域 ?

答 : 176

採取遞迴想法時,可依序由一維二維三維來看這個問題 :

一維 : \(n\) 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ?    以下用 \(a_n\) 表示

則有 \(a_1=2,  a_2=3, a_3=4,...,a_n=a_{n-1}+1\)

而得到 \(a_n=n+1, n=1,2,3,...\)


二維 : \(n\) 條直線最多可以將一平面分成幾個區域?    以下用 \(b_n\) 表示

則有 \(b_1=2,  b_2=4,  b_3=b_2+a_2=7,  b_4=b_3+a_3,...,  b_n=b_{n-1}+a_{n-1}\)

因為每多1條線就可以與前面的  \(n-1\) 條線最多交於 \(n-1\) 點

而這 \(n-1\) 點可以將這條新加上去的直線最多切成 \(a_{n-1}\) 段,因此多了 \(a_{n-1}\) 個區域

最後由遞迴關係得到 \(b_n=\frac{n(n+1)}{2}+1, n=1,2,3,...\)


三維 : \(n\) 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)?    以下用 \(c_n\) 表示

則有 \(c_1=2,  c_2=4,  c_3=c_2+b_2=8,  c_4=c_3+b_3,...,  c_n=c_{n-1}+b_{n-1}\)

因為每多1個平面就可以與前面的  \(n-1\) 個平面最多交於 \(n-1\) 條線

而這 \(n-1\) 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 \(b_{n-1}\) 個區域,因此多了 \(b_{n-1}\) 個區塊

最後由遞迴關係得到 \(c_n=\frac{n(n^2+5)}{6}+1, n=1,2,3,...\)


所求即為 \(c_{10}=176\)



至於速算法可以畫圖一一對應說明!  (但感覺用遞迴比較嚴謹)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-11 04:20 PM 編輯 ]

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填充1的題型似乎很常見
但是小弟還是想不透
懇請板上高手賜教
感謝

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想請教填充1,6,7及計算1
感謝

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回復 17# money 的帖子

填充第 1 題:

  不失一般性,可先假設 \(x\geq y\geq z\),然後搭配 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\),

  先由 \(\displaystyle1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)

     \(\Rightarrow z\leq3\)

  條列 \(z=1,2,\) 或 \(3\) 之 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 之值,然後找出所有可能的解。

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回復 17# money 的帖子

填充第 7 題:

令所求面積為 \(x\),

則由孟氏定理,可得

\(\displaystyle\frac{BD}{DA}\cdot\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EF}{FB}=1\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{10+20}{x+16}\cdot\frac{10+20+x+16}{20+16}\cdot\frac{16}{20}=1\)

\(\Rightarrow x=44.\)

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回復 17# money 的帖子

填充第 6 題:

所求=\(\displaystyle-\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\)

再利用 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543 這裡"註"的第一項,就可以了!

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感謝weiye老師指導

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