已知\(\displaystyle A(a,b),B(-a,b),C(0,\frac{1}{2})\)為橢圓\(\Gamma\)：\(x^2+4y^2=1\)上的三點，若過\(A,B,C\)三點的圓半徑為\(r\)，則\(\displaystyle \lim_{a\to 0}r=\)　　　。

補第二題的想法
首先知a^2+4b^2=1,
因AC斜率為(b-1/2)/a=(2b-1)/(2a), AC中點(a/2, (b+1/2)/2)
=> AC中垂線為y-(b+1/2)/2=[(-2a)/(2b-1)](x-a/2)
代x=0(AB中垂線), 解得圓心坐標( 0, (4a^2+4b^2-1)/(8b-4) )=( 0,  (3-12b^2)/(8b-4))
因a->0 時, b->+-1/2
lim(b->-1/2) [(3-12b^2)/(8b-4)]=0
lim(b->1/2) [(3-12b^2)/(8b-4)]=lim(b->1/2) [(-24b)/8]=-3/2 (L'hospital's Rule)
故lim(a->0) (r) =lim(b->+-1/2) (r)
=1/2-0 或 1/2-(-3/2)
=1/2 或 2

第二題的
我在想是當a->0 趨近短軸上半頂點，三點的外接圓會趨近於r＝1/2的圓

[quote]原帖由 Fermat 於 2011-6-2 07:55 PM 發表

請問第3題的解法中 :
" '=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)] " 如何得的 ?

引用:

原帖由 mandy 於 2011-6-6 03:12 PM 發表
[quote]原帖由 Fermat 於 2011-6-2 07:55 PM 發表

請問第3題的解法中 :
" '=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)] " 如何得的 ?

橢圓的切線公式

y=mx士sprt(m^2)*A+B

引用:

原帖由 Fermat 於 2011-6-3 09:58 AM 發表
第7題bugmens大的作法(祕招)我參不透(為何可設f(0)=0？), 只好土法煉鋼
我是先設f(1)=3t, f(2)=4t, f(3)=6t, f(4)=12t
作三次差分
3t　4t　6t　12t
　t　 2t　 6t
　　t　  4t
　　　3t
得3t=constant=12 (相當於將f微 ...

巴貝奇定理:
f(0) -4 f(1) +6 f(2) -4 f(3) + f(4)=0-----------(*)
將題目的數據丟入(*)
可得f(0)=0

請問b大
第7題解的倒數第二行
這個式子是如何跑出來的？？
小弟慧根較短~~~~~感謝

仔細推敲一下 bugmens大所寫的，背後應該是插值多項式和差分。

令 \( f_{n}=f(n)=c_{0}C^n_0+c_{1}C^n_1+c_{2}C^n_2+c_{3}C^n_3 \)，其中 \( C^n_k=\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} \) 。

大家都知道三次多項式，三次差分為常數，但仔細看一下差分究竟跑出什麼東西…就有可能從那些差分的的結果湊出三次式。

遞迴定義差分 \( \Delta^{k+1}a_{n}=\Delta^{k}a_{n+1}-\Delta^{k}a_{n}, \Delta^{0}a_{n}=a_{n} \)。

Pascal 定理 \( \Rightarrow\Delta C^n_{k+1}=C^n_k \)。由此可得以下：

當差分的次數為 \( k \) 時，\( \Delta^{k} C^n_k= C^n_0=1 \)。

當差分的次數 \( l<k \) 時， \( \Delta^{l}C^n_k \Rightarrow C^n_{l-k} \Rightarrow \Delta^{l} C^n_k\mid_{n=0}=0 \)。

當差分的次數 \( l>k \) 時，\( \Delta^{l} C^n_k \)。

因此 \( \Delta^{k}f(0)=c_{k} \), for \( k=0,1,2,3 \)。

回覆 4# Fermat 的帖子

看起 bugmens 大，是用三次差分為常數，也就是最左邊那排數字是等 f(1)~f(4) 差分做完後才寫的。

不知道有沒有猜錯？

打完這篇，又學到一招了，真是令人高興！！
(\binom 不能用，只好改成 C 了)
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前幾天有人問了寸絲 101 台中一中 \( \sum k^4 \) 怎麼做

https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html

不知道，怎麼了，就答了用這招 + Pascal 定理

更神奇的是，閃出這個東西到底是什麼了，

這個方法，其實就是好幾年前，在大學時，學牛頓插值多項式的數值算法

也是牛頓插值多項式優於拉格朗日多項式的地方，當多了一個插值點時，計算不用重做

只要加進去，補到後面，繼續差分就好了，

真是感嘆...想不到東西已經還給老師，看到這個手法這麼久了，現在才想起來

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-2 04:52 PM 編輯 ]

所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3
====>請問這一步是怎麼來的?謝謝。

正八面體\(ABCDEF\)的邊長為2，如圖，已知\(A\)為原點，\(A,D,E\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離=　　　
[解答]
八面體與xy平面的夾角為(180度-θ)      其中θ為正八面體任意兩面之夾角
所求=正三角形的中線長*sin(180度-θ)
        =sqrt(3) *sin(180度-θ)
        =sqrt(3) *sinθ          其中θ 滿足 cosθ = -1/3
        =2*sqrt(6) /3
                                  #

[quote]原帖由 Fermat 於 2011-6-2 07:55 PM 發表
1. 原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4


請問為何是相乘?而不是相加起來?