填充  6. 整理舊東西，發現這題以前沒解出來

另解. 令 \( f'(x)=\frac{a}{3}(x-b)^{2}\Rightarrow f(x)=a(x-b)^{3}+c \),

\( \begin{cases}
3 & =f(2)-f(1)=a(3b^{2}-9b+7)\\
5 & =f(3)-f(2)=a(3b^{2}-15b+19)
\end{cases} \)，兩式相除可解得 \( b=\pm\sqrt{\frac{11}{3}} \) ，

而得 \( a=\frac{3}{18\mp3\sqrt{33}}=\frac{6\pm\sqrt{33}}{3} \)

\( f(4)- 3f(3) + 3f(2) - f(1) = 3! \times a \Rightarrow f(4) =17+(12\pm2\sqrt{33})=29+2\sqrt{33} \)。

想請問老師填充第 2, 4, 8 題

填充第4題：

(甲乙不同，其餘4人任意分)-(甲乙不同，甲A，其餘4人任意分)
-(甲乙不同，乙B，其餘4人任意分)+ (甲A乙B，其餘4人任意分)

= P三取二(甲乙不同)×3^4 (餘4人任意分)  -  2(乙C或B)×3^4 (餘4人任意分)  -  2(甲C或A)×3^4(餘4人任意分)  +  3^4(甲A乙B，其餘4人任意分)
=486-162-162+81
=243

[ 本帖最後由 qaz 於 2015-1-1 03:33 PM 編輯 ]

填充第2題：

一個數的全部因數積= 本身^(因數個數/2)
60、30、15最大公因數是15

分解2^60×3^30×5^15  = (2^4×3^2×5^1)^15
恰好2^60×3^30×5^15有 (4+1)( 2+1)( 1+1)=30(個)因數  是15的兩倍

所以n=2^4×3^2×5^1=720

[ 本帖最後由 qaz 於 2015-1-1 12:29 PM 編輯 ]

第4題
分以下三種情形
(1)甲B班，乙A班
(2)甲B班，乙C班
(3)甲C班，乙A班
每種情形，另四人都有\({{3}^{4}}=81\)種分法
所求\(=81*3=243\)

第8題
\(\begin{align}
  & \frac{\Delta ABD}{\Delta ACE}=\frac{\overline{BD}}{\overline{EC}} \\
& \frac{\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{AD}\times \sin \angle BAD}{\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{AE}\times \sin \angle CAE}=\frac{3}{4} \\
& \frac{\overline{AB}\times \overline{AD}}{\overline{AC}\times \overline{AE}}=\frac{3}{4}\quad \ldots \ldots \left( 1 \right) \\
&  \\
& \frac{\Delta BAE}{\Delta CAD}=\frac{\overline{BE}}{\overline{DC}} \\
& \frac{\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{AE}\times \sin \angle BAE}{\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{AD}\times \sin \angle CAD}=\frac{5}{6} \\
& \frac{\overline{AB}\times \overline{AE}}{\overline{AC}\times \overline{AD}}=\frac{5}{6}\quad \ldots \ldots \left( 2 \right) \\
&  \\
& \left( 1 \right)\times \left( 2 \right) \\
& \frac{{{\overline{AB}}^{2}}}{{{\overline{AC}}^{2}}}=\frac{5}{8} \\
& \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\sqrt{10}}{4} \\
\end{align}\)

謝謝老師