2010AIME

a^3-abc=2
b^3-abc=6
c^3-abc=20
a,b,c均為實數
求a^3+b^3+c^3的極大值

謝謝各位老師

1.
利用 \(a^3\cdot b^3\cdot c^3=\left(2+abc\right)\left(6+abc\right)\left(20+abc\right)\)，

令 \(t=abc\)，則　\(t^3=\left(2+t\right)\left(6+t\right)\left(20+t\right)\)，

可解得　\(\displaystyle abc=t=-4 \mbox{ 或 } -\frac{15}{7}.\)

2.
\(\displaystyle a^3+b^3+c^3 = \left(2+abc\right)+\left(6+abc\right)+\left(20+abc\right)=28+3abc=16 \mbox{ 或 } \frac{151}{7}\)

故，\(a^3+b^3+c^3\) 的最大值為 \(\displaystyle\frac{151}{7}.\)

補個出處2010AIME第9題，點題號可以看解答
h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2010　連結已失效
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_9

另外第15題在PTT數學版有人問過了，我將我的解法放上來
\( \displaystyle \overline{BM}=\frac{1}{2}\sqrt{(\overline{AB}+\overline{BC})^2-\overline{AC}^2}=10 \)
假設\( \overline{AM}=x \)，\( \overline{CM}=15-x \)
\( \displaystyle \frac{△ABM}{△BCM}=\frac{\frac{1}{2}(12+x+10)r}{\frac{1}{2}(15-x+13+10)r} \)

\( \displaystyle \frac{△ABM}{△BCM}=\frac{\overline{AM}}{\overline{CM}}=\frac{x}{15-x} \)　同底等高

解出\( \displaystyle x=\frac{22}{3} \)，\( \displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{CM}}=\frac{22}{23}=\frac{p}{q} \)


補充一題
設△ABC中∠C為直角，點D在斜邊AB上，AC=9，BC=8，CD=6，已知△ACD之內切圓與△BCD內切圓有相同的半徑，試求△ACD與△BCD面積之比值。
(2002TRML個人賽)

請問附件：競賽解題指導P215.jpg
如何由(1)(2)得到AM=((b+c)^2-a^2)^0.5/2？
我怎麼算都算到三次以上的式子，找到不AM長

p.s.兩個餘弦定理的右式都少乘2

補充：另一種求出AM的做法了
數學傳播 35卷4期, pp. 82-85
有關三角形內切圓等分線的一些不等式(作者：莊健祥)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35408.pdf

[ 本帖最後由 eggsu1026 於 2013-5-4 07:45 AM 編輯 ]

由 \(\displaystyle \frac{BM}{MC}=\frac{c+x+BM}{b+c+MC}=\frac{c+x}{b+x} \)

所以 \(\displaystyle BM=\frac{a(c+x)}{(c+x)+(b+x)},MC=\frac{a(b+x)}{(c+x)+(b+x)} \)

代入下面的式子(餘弦少乘 2 不影響)
\(\displaystyle \frac{c+x}{b+x}=\frac{a^2(c+x)^2+(c+x)(x-c)(c+x+b+x)^2}{-a^2(b+x)^2+(b+x)(b-x)(c+x+b+x)^2} \)

\(\displaystyle a^2(b+x)(c+x)^2+(x-c)(b+x)(c+x)(2x+b+c)^2+a^2(b+x)^2(c+x)+(x-b)(b+x)(c+x)(2x+b+c)^2=0 \)

\(\displaystyle a^2(b+x)(c+x)(2x+b+c)+(2x-b-c)(b+x)(c+x)(2x+b+c)^2=0 \)

\(\displaystyle (b+x)(c+x)(2x+b+c)(a^2+4x^2-(b+c)^2)=0 \)

因為 \(\displaystyle (b+x)(c+x)(2x+b+c) \not= 0 \)

所以 \(\displaystyle a^2+4x^2-(b+c)^2=0 \)

\(\displaystyle x^2=\frac{(b+c)^2-a^2}{4} \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-5-4 09:04 AM 編輯 ]

了解，感恩！

您的做法可以再化簡一點
將 BM、MC用 (c+x)a/(b+c+2x)和 (b+x)a/(b+c+2x) 代入 (2) 式後得到的式子
將分子同除以 ( c + x )，分母同除以 ( b + x )
可以讓後續的式子簡化些