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想請教一個因數分解問題

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想請教一個因數分解問題

敝人在練習寸絲老師的math note0718時
其中題號79與80
79.一串數,1; 4; 7; 10; : : : ; 2008; 2011 的規律是:第一個數是1,以後每一個數等於它前面的一個數加3,直到2011 為止。將所有這些數相乘,試求所得數的尾部零
的個數有多少個。(例如:20110608000 尾部零的個數有3 個)
80.若P(2010,1340) 必為3^k 的倍數,則k 的最大值為?


不難看出79是要求5的倍數.而80是要取3的倍數
然而我用短除法分別做時.
79題會與答案差1
而80題是正確的
所以我想要知道造成問題的是因為79題還需要放大3倍回去造成錯誤
還是80題只是運氣好算對
雖然知道可能是因為餘數造成的問題
但我想知道有沒有辦法解決


以下為我的計算過程
79.
2011/3=670
因為5和3互質
所以每隔5個數字有一個5的倍數
670/5=134
134/5=26...4  (參考版上的答案是這邊少了一個應該是27個)
26/5=5...1
5/5=1
所以該數列連乘總共有134+26+5+1=166

80.
2010/3=670
670/3=223...1
223/3=74...1
74/3=24...2
24/3=8
8/3=2...2
所以2010!共有670+223+74+24+8+2=1001個3
2010-1340=670
670!共有223+74+24+8+2=331個3
所以P(2010,1340)共有1001-331=670個3

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回復 1# cut6997 的帖子

這類問題使用的原理是,

該數列符合:每 \( 5^k \) 項,就恰有一項為 \( 5^k \) 的倍數。

在 \( k=1 \) 的時候,正好是第 5,10,15,...,
若從第一項開始數,也就是每 5 項的末項,因此餘項沒用。

而 \( k=2,3,.. \),雖然也是間隔 \( 5^k \),但並不是末項。

\( 6700 \div 25 = 26 \ldots 20 \)。

因為 25 的倍數不一定是第25項,所以剩下來的 20 項中"可能"會有 25 的倍數。

觀察數列的前幾項 1,4,7,10,13,16,19,22,25,從第 9 項開始,每25項就的有一項是 25 的倍數。因此餘20項中,有一項是25的倍數

第80題,由於是階乘的關係,\( 5^k \) 的倍數的項,都滿足:
第一項開始數,都每 \( 5^k \) 項的末項。
因此餘項沒用
文不成,武不就

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感謝寸絲老師的回答

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