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請教一題微分題目

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請教一題微分題目

設\(x \ne 1\),求\(x+2^2x^2+3^2x^3+\ldots+n^2x^n\)之值

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回復 1# maddux0706 的帖子

\(\begin{align}
  & {{A}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{k}^{2}}{{x}^{k}}} \\
& {{B}_{n}}=\int{\frac{{{A}_{n}}}{x}dx=}\sum\limits_{k=1}^{n}{k{{x}^{k}}} \\
& {{C}_{n}}=\int{\frac{{{B}_{n}}}{x}dx=}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}^{k}}}=x\times \frac{{{x}^{n}}-1}{x-1} \\
& {{B}_{n}}=x{{C}_{n}}^{'}=\frac{n{{x}^{n+2}}-\left( n+1 \right){{x}^{n+1}}+x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\
& {{A}_{n}}=x{{B}_{n}}^{'}=\frac{{{n}^{2}}{{x}^{n+3}}-\left( 2{{n}^{2}}+2n-1 \right){{x}^{n+2}}+{{\left( n+1 \right)}^{2}}{{x}^{n+1}}-{{x}^{2}}-x}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}} \\
\end{align}\)

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#回覆一樓

鋼琴老師的太厲害了
小弟提供一個比較普通的等比解法

[ 本帖最後由 王重鈞 於 2017-3-21 08:43 編輯 ]

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#回覆一樓

補上圖片

[ 本帖最後由 王重鈞 於 2017-3-21 08:46 編輯 ]

附件

1490057108023-876616421.jpg (1.38 MB)

2017-3-21 08:46

1490057108023-876616421.jpg

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