diophantine equation

在做三角函數的邊角關係時 發現120度的對邊為z則三角形的三邊長x,y,Z滿足x^2+xy+y^2=z^2
我們知道x^2+y^2=z^2的一般解為x=2mn,y=m^2-n^2,z=m^2+n^2
那麼x^2+xy+y^2=z^2的一般解為何?
(x=2t+1,y=t^2-1,z=t^2+t+1是x^2+xy+y^2=z^2的部分解)
多謝各位!

[ 本帖最後由 kuen 於 2014-9-24 11:47 AM 編輯 ]

先考慮\({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1\)
由於過\(\left( 1,0 \right)\)，令\(y=k\left( x-1 \right)\)
\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}+kx\left( x-1 \right)+{{k}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1 \\
& \left( {{k}^{2}}+k+1 \right){{x}^{2}}-\left( 2{{k}^{2}}+k \right)x+\left( {{k}^{2}}-1 \right)=0 \\
& x=\frac{{{k}^{2}}-1}{{{k}^{2}}+k+1} \\
& y=\frac{-{{k}^{2}}-2k}{{{k}^{2}}+k+1} \\
\end{align}\)
再令\(k=\frac{m}{n}\)
\(\begin{align}
  & x=\frac{{{m}^{2}}-{{n}^{2}}}{{{m}^{2}}+mn+{{n}^{2}}} \\
& y=\frac{-{{m}^{2}}-2mn}{{{m}^{2}}+mn+{{n}^{2}}} \\
\end{align}\)
最後取\(\left( x,y,z \right)=\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}},-{{m}^{2}}-2mn,{{m}^{2}}+mn+{{n}^{2}} \right)\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-9-26 04:40 PM 編輯 ]

太厲害了
是如何求得的?

回覆於 2 樓
若\(x,y,z\)為三角形三邊長，且\(z\)為\({{120}^{{}^\circ }}\)所對的邊之長
則須滿足\(mn<0\)且\(\left| 2n \right|>\left| m \right|>\left| n \right|>0\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-9-26 06:18 PM 編輯 ]