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連續正整數的乘積

n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積:
n! = 1*2*3*4...*n
P = 4*...*n
我以這個 P 為起點 (此時 P <  n!),將 P 的成員依序往右"滑動" 1 格 (則 P 依序變大),若滑到某處可滿足 P =  n!,就找到了一個 n 的解。


我用這個思維,考慮:
A. n之最大值為?
B. 所有可能的 n 值為?


A.
P 的成員往右滑動 1 格後,成為 5*...*(n+1),與 n! 比較,知取 (n+1) = 4! 即可使 P =  n!,即 n = 23,則 23! = 5*6*7*...*24 符合所求。
現證明 n = 23 為最大值,考慮 n > 23:
n! = 1*2*3*4...*n
P = 4*...*n (此時 P <  n!)
P 的成員往右滑動 1 格後,成為 5*...*(n+1),因(n+1) > 4!,故 P >  n!,再往右滑當然亦是 P >  n!。
因此,n = 23為 n 之最大值。


B.
由以上思維可以發現,欲使 n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積,必要條件是在比 n 大的正整數中,找到連續 k 個,其乘積 = (3+k)! 。而若找到時,把這連續 k 個正整數乘積與(3+k)! 補上公共部分 (公共部分也可以是空集合,即"不補"),就得到符合所求的 n。因此,"在比 n 大的正整數中,找到連續 k 個,使其乘積 = (3+k)! ",就成了求 n 的充要條件。


B-1
考慮 k = 1,得 4! = 24 (連續"1個"正整數 = 24)。
補上 4! 與 24 間的公共部分,得 23! = 5*6*7*...*24 ,則 n = 23
若不補,即保持 4! = 24 ,假定題目的"連續"意指"至少2個",則 n = 4 不合。


B-2
考慮 k = 2,即 5! = m*(m+1),由 5! = 10*12,易知 m 無正整數解。


B-3
考慮 k = 3,即 6! = m*(m+1)*(m+2),不難得出 6! = 8*9*10。
補上 6! 與 8*9*10 間的公共部分,得 7! = 7*8*9*10,則 n = 7
若不補,即保持 6! = 8*9*10,則 n = 6

B-4
以下證明 k > 3 則無解。由 6! = 8*9*10,則:
易知  7! < 8*9*10*11,所以 k = 4 無解。
易知  8! < 8*9*10*11*12,所以 k = 5 無解。
以下類推(更大的 k 情形皆可由 6! = 8*9*10 延長衍生,繼而看出必然"左<右"),固然可用數學歸納法證明,但應該很好理解體會,不再贅述。

綜合以上,符合題意的 n 恰有三個: n= 6,7,或 23。









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這個太強了!
謝謝解答

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