教甄還沒考過特徵值相同的矩陣n次方，希望明年命題老師可以考慮看看。
5.
設\( I=\left[ \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \right] \)，\( N=\left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \)，求\( (2I-N)^{103}= \)？
[解答]
\( A=2I-N=\left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \)
1.求特徵值
\( \left| \matrix{1-\lambda & -1 \cr 1 & 3-\lambda} \right| =0 \) ， \( (\lambda-2)^2=0 \) ， \( \lambda=2,2 \)特徵值重根
2.求特徵向量
\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{0 \cr 0} \right] \) ， \( x+y=0 \)，取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \)
\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \) ， \( x+y=1 \)，取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{1 \cr 0} \right] \)
3.形成P矩陣
設\( P=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \)，\( P^{-1}=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \)
4.計算\( D=P^{-1}AP \)，這時候\( D \)不會是對角矩陣
\( D=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right]=\left[ \matrix{2 & 1 \cr 0 & 2} \right] \)
\( D^n=\left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \)，(這似乎只能硬乘來觀察規律)
5.求\( A \)的n次方
\( A^n=PD^nP^{-1}=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right]=\left[ \matrix{-(n-2)2^{n-1} & -n 2^{n-1} \cr n 2^{n-1} & (n+2)2^{n-1}} \right] \)
\( A^{103}=2^{102} \left[ \matrix{-101 & -103 \cr 103 & 105} \right] \)
其實我是用maxima算的，更多類題請看
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid2620
