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複係數多項式的根

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複係數多項式的根

大學的數學建立主題沒辦法上傳附件,所以在這發表。

附件中的第二頁:
「Stop the iteration as soon as ……」

請問這部分是說牛頓法用在複係數多項式一定會收斂嗎?
若不是,有沒有一個好用的充分條件,確定牛頓法用在複係數多項式會收斂?
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回復 1# Superman 的帖子

就我印象中的的一個收斂的充分條件(在複數域下):
只要函數f在所要逼近的複數根(zero)是可解析(可微)的,
則必可用牛頓法逼近得到,所以你所說的
"牛頓法用在複係數多項式的任意複數根一定會收斂"的答案是肯定的,
這部分的證明有時間我再找看看,
牛頓法的收斂精神主要由初始值來決定,初始值找得好,就收斂得快,
找不好的話有可能沒辦法收斂。
所以定理中通常會提到(若可收斂)在該零根附近存在一個鄰域(neighbor hood),
只要初始值位在那個鄰域內,牛頓法必收斂。

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我希望是可以像數學軟體那樣,
一套必定能找出所有零點的演算法。
也就是說,不能先假設起始點落在適當的區域
,除非有辦法讓起始點落在適當的區域。

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