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垂心一題

垂心一題

請教版上高手

若P為三角形ABC內一點
PA  PB  PC若已知
則當P為垂心時,三角形ABC面積會最大

怎麼證明

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這問題也困擾我很久,但是想通了就好~~
題意即為在三個同心圓上各取一點,使得面積最大。

我們只要證明在BC固定的情況下,A點的選取要滿足\( AP \perp BC \)
如圖,令\( AH \perp BC \)於H,\( DK \perp BC \)於K,
作\( PE \perp DK \)於E,
因為 \( \angle PED=90^o \)
所以\( PD>DE \)
於是\( AH=AP+PH=PD+EK>DE+EK=DK \)

那麼就有當P為垂心時滿足\( AP \perp BC \)、\( BP \perp AC \)、\( CP \perp AB \)
為最大情況。

附件

垂心.jpg (23.48 KB)

2012-4-3 23:14

垂心.jpg

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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謝謝老王老師
感激不盡

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