回復樓上的文章
cyclotomic field其實很有故事性
可以看中文維基 對cyclotomic field的敘述
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%9C%86%E5%9F%9F
英文維基也有提到
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
在證明費馬最後定理時利用因式分解
若ζ是1的n次方根
x^n+1= (x + 1) (x + ζ) … (x + ζ^(n − 1))
因此
Z^n=x^n + y^n = (x + y) (x + ζy) … (x + ζ^(n − 1)y)
Kummer 就是把正整數z放在比較大的世界Z[ζ]去因數分解來討論
Kummer發現柯西和Lame證明費馬最後定理時的一些缺陷
Z[ζ]中的數的因數分解有時候不具有唯一分解性(UFD)
因此因數分解的方法在這條路就卡住 無法證明費馬最後定理
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PS1 cyclotomic field其中一個性質可以解釋原來的問題
ζ 若是1的15次方的根 (且不是3次方 5次方的根)
則[Q(ζ): Q]=phi(15) phi是尤拉函數 (比n小和n互質的數個數)
故phi(15)=8 就是題目問的 最小多項式的次方
同理樓上文章中的例子
http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html
x^105 -1 因式分解之後次方最高的那項
phi(105)=48
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PS2 Kummer解釋柯西證錯有下面這個故事
引自科學月刊
http://episte.math.ntu.edu.tw/reviews/rev_ltf/
沃爾夫斯凱爾（Paul Wolfskehl，）並不是什麼偉大的數學家，但他卻和費瑪最後定理有著不可割捨的關係。 話說當時沃爾夫斯凱爾正迷戀著一位女性，很遺憾的是他被拒絕了，想不開的他決定要自殺， 而且很謹慎地計畫他的死亡，最後他決定了自殺的日子，並打算在午夜時開槍射擊自己的頭部。 沃爾夫斯凱爾是如此謹慎小心的人，以至於自殺當天他提前在午夜就將所有的事情都弄好了。 為了消磨這段時間，他到圖書館看數學古籍，就這樣他被一系列有關費瑪最後定理的東西給迷住了， 甚至他認為他找到了庫默爾在解釋柯西和拉梅失敗的原因上的一個漏洞。沃爾夫斯凱爾是如此的專心， 以致於他錯過了他自殺的時間。直到黎明，沃爾夫斯凱爾才完成他的工作，他補起了庫默爾的漏洞， 但是費瑪最後定理依舊不可解。數學重新喚起了沃爾夫斯凱爾的生命欲望，就這樣沃爾夫斯凱爾改寫了他的遺囑， 他決定將他財產中的十萬馬克當做一個獎，給任何能證明費瑪最後定理的人。 這個誘惑是如此的大，一下子許多是與不是的數學家都投入費瑪最後定理的工作。 這可能是費瑪最後定理最有意義的地方，因為它救活了一個人，也因此費瑪最後定理的身價大為提高。
有趣的是.....第二次世界大戰過後 十萬馬克就變廢紙了
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本帖最後由 sliver 於 2015-3-24 11:06 PM 編輯 ]
