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第 17 題：
(1)
設通過原點的直線與 \(y=x^2(3-x)\) 相切於第一象限的切點為 \((x_0,y_0)\)，其中 \(x_0>0,y_0>0\)
由 \(\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2\) 且 \(y_0=x_0^2(3-x_0)\)
可解得 \(\displaystyle x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow f\,'(x_0)=\frac{9}{4}\)
因此，可得 \(L\) 的斜率範圍為 \(\displaystyle(0,\frac{9}{4})\)
另解，
設 \(L\) 的斜率為 \(m\) ，則
\(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)
因為 \(L\) 與 \(y=3x^2-x^3\) 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 \(P,Q\)
因此，\(x^2-3x+m=0\) 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，
可得 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)
(2)
設 \(L\) 的斜率為 \(m\)，其中 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)
令題述之 \(P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)\)，
則 \(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)
\(\Rightarrow x_1+x_2=3, x_1x_2=m\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{9-4m}\)
\(\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \triangle APQ\mbox{面積}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\left|3m-0\right|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(9-4m)m^2}\)
（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）
因為 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)，所以 \(9-4m\) 與 \(m\) 恆正，
由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{(9-4m)+2m+2m}{3}\geq\sqrt[3]{4(9-4m)m^2}\Rightarrow (9-4m)m^2\leq\frac{27}{4}\)
因此，\(\displaystyle\triangle APQ\mbox{面積}\leq \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\)
且當等號成立時，\(\displaystyle 9-4m=2m\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)，
此時，可得 \(\displaystyle\triangle APQ\) 的最大面積為 \(\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{4}\)
