第 6 題 (2)：當方程式 \(\left|x^2-2\left|x\right|\right|=kx+1\) 恰有 \(4\) 個相異實根時，
\(k\) 值之範圍為何？
解答：
\(\left|x^2-2\left|x\right|\right|=kx+1\) 恰有四個相異實根
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc}y=\left|x^2-2\left|x\right|\right|\\y=kx+1\end{array}\right.\) 恰有四個交點
其中 \(y=kx+1\) 是通過 \(\left(0,1\right)\) 且斜率為 \(k\) 的直線
所以，畫出 \(y=\left|x^2-2\left|x\right|\right|\) 的圖形之後，
看通過 \(\left(0,1\right)\) 的直線中，當斜率為何時恰與上述圖形交於相異四點，
可得 \(\displaystyle-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2}.\)
第 8 題：求經過 \((-1,-2),\,(0,4),\,(2,1),\,(4,-1)\) 之等軸雙曲線方程式。
解答：設所求方程式為 \(x^2+b xy-y^2+dx+ey+f=0\)，將題目所給的四點帶入，可解得 \(b,d,e,f\) 之值。
思考過程：
等軸雙曲線的兩漸近線必互相垂直；反之，若雙曲線的兩漸近線互相垂直，則其為等軸雙曲線。
若等軸雙曲線的一漸近線為 \(a_1x+b_1y+k_1=0\)，則另一漸近線必為 \(b_1x-a_1y+k_2=0\)，
則雙曲線方程式為 \(\left(a_1x+b_1y+k_1\right)\left(b_1x-a_1y+k_2\right)=c\)，其中 \(c\) 為非零實數，
乘開之後可得 \(x^2\) 與 \(y^2\) 的係數必〝異號〞或同時為 \(0\)（也就是 \(a_1\) 或 \(b_1\) 其中有一個為 \(0\) 啦）。
所以我們可以假設等軸雙曲線的方程式為 \(ax^2+bxy-ay^2+dx+ey+f=0\)，
然後將四點帶入，解方程式時將 \(a,b,d,e\) 都用 \(f\) 表示，寫出方程式後，除掉 \(f.\)
或是，直接假設等軸雙曲線的方程式為 \(x^2+bxy-y^2+dx+ey+f=0\)，
將四點帶入後，解的出來就ＯＫ，
解不出來就是兩漸近線分別平行 \(x\) 軸與 \(y\) 軸，此時再假設等軸雙曲線方程式為 \(xy+dx+ey+f=0\) 即可。
（除了這樣解釋，當然您也可以透過標準化的等軸雙曲線，
經過旋轉、平移後，再來解釋 \(x^2\) 與 \(y^2\) 項的係數和\(=0\)，也可以。）
