艾森斯坦判別法(
Eisenstein's criterion)
中文：
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?...&variant=zh-tw
英文：
http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion
這是在代數學裡面會學到的一個定理，用來判別有理係數多項式是不是在有理係數多項式的體裡面是 irreducible.(亦即，無法更進一步再分解成兩個有理係數多項式的乘積)
由於 wikipedia 裡面提供的初等證明還是可能要學過一點 代數學 才會看得懂。
http://web.ew.usna.edu/~wdj/book/node102.html
↑↑↑↑↑↑ 這裡提供一個沒有用到 代數學 的證明。
我把它翻成中文：
Theorem 2.12.3 (Eisenstein's criterion) 假設質數
可以整除整係數多項式
除了領導係數以外的其他所有係數，且常數項沒辦法被
整除，則此多項式無法分解成兩個整係數多項式的乘積。
proof: 假設
滿足此定理的假設，也就是已知當
時，
，且同時
及
。
接下來要利用矛盾證法，也就是假設 f(x)可以分解成兩個整係數多項式的乘積，寫作
，其中
,
皆為整係數多項式，為了方便書寫，假設只要
，則令
，且只要
，則令
，如此就可以利用比較乘開之後 x^t 的係數，而得
(2.2)
其中，當 t=0 的時候，可得
，因為
且
，所以 p 一定恰為 a0 或 b0 其中之一的因數，且不同時為 a0 與 b0 此兩數之因數，不失一般性，我們可以假設
且
。
因為已知 b0 到 bk 裡面至少有一個係數可以被 p 整數整數，所以假設
是滿足不被
整除的
裡面下標最小的一個(譯註：亦即 p 是 b0, b1, ... b_{t-1} 的因數，但 p 不是 bt 的因數，因為 f(x) 係數不完全被 p 整除，所以可以知道 t≦k，且因為m≧1，所以t<n)，因為由上一段推得
，所以可以知道
。
觀察滿足此條件 t 的 at ，觀察等式 (2.2) 的左邊，可以發現因為
整除b0, b1, ... b_{t-1} ，且 p 不是 c0 也不是 bt 得因素，所以 at 不是 p的因數，可是由假設的已知，可以知道 p 可以整除除了 an 以外的所有係數(當然也包含) at ，由此產生矛盾，故滿足此定理的前提的 f(x)必無法分解成兩個整係數多項式的乘積。
(得證！)
原討論串：
http://www.student.tw/db/showthread.php?t=144087
