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100中科實中

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100中科實中

以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 52分
1名正式教師,取8名參加複試
68,65,63,53,52,52,52,52

其他,
51分     2人
40~49分 17人
30~39分 39人
20~29分 46人
10~19分 51人
  0~ 9分 26人
缺考     6人

共計 195 人
(准考證號碼從1001030151~1001030180無資料)

http://140.120.84.1/01news/new_0 ... 948&cate_id=203
發布單位:        教務處
發布日期:        2011-05-16
公告主旨:重新公告數學科及音樂科初試成績。
公告說明:
一、依據本校100年5月16日受理成績復查結果辦理。
二、數學科:100103029成績複查後初試成績修正為52分。
三、音樂科:選擇題第15題經命題、閱卷委員等研商、考究相關文獻後,
議定:選擇答案B或答案C,視為正確答案均給分,並全面
啟動重新閱卷後,重新公告初試成績。
四、詳請參閱附加檔案。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-16 08:44 PM 編輯 ]

附件

100中科實中.rar (320.11 KB)

2011-5-16 20:44, 下載次數: 6365

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4.
\( \displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6} \times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6} \)
[提示]
\( n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2] \)

Compute \( \displaystyle \frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} \).
(1987AIME)
這裡還有類似的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840



6.
若從1,2,...,13中任選出相異三數\( x,y,z \),且\( x<y<z \),則\( y-x \ge 3 \)且\( z-y \ge 3 \)成立之機率為
[解答]
\( a=13-z \ge 0 \)
\( b=x-1 \ge 0 \)
\( c=y-x-3 \ge 0 \)
\( d=z-y-3 \ge 0 \)
四式相加得
\( a+b+c+d=6 \)
求非負整數解的個數有\( \displaystyle H_6^4 \)種

滿足\( 1 \le a \le b < c \le d \le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組?
(95新竹高商)
\( x_1=a-1 \ge 0 \)
\( x_2=b-a \ge 0 \)
\( x_3=c-b-1 \ge 0 \)
\( x_4=d-c \ge 0 \)
\( x_5=8-d \ge 0 \)
五式相加得
\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \)
求非負整數解的個數有\( \displaystyle H_6^5 \)種



9.
\( \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of {2}-1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c \),其中\( a,b,c \in Q \)。求\( a+b+c= \)?
(92高中數學能力競賽,高中數學101 P25)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840



12.
\( sin \alpha+cos \beta=a \),\( cos \alpha+sin \beta=b \),求\( sin(\alpha-\beta) \)?(以\( a,b \)表示)

If \( sin x+cos y=a \) and \( cos x+sin y=b \). Find the value of \( \displaystyle tan (\; \frac{x-y}{2} )\; \) in terms of a and b.
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=150&t=356363

已知\( \displaystyle sin \alpha+cos \beta=\frac{3}{5} \),\( cos \alpha+sin \beta=\frac{4}{5} \)。求\( cos \alpha sin \beta \)的值?
(96家齊女中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23930)
(99屏東女中,https://math.pro/db/thread-976-1-1.html)




13.
4個A、4個B、4個C排成一列,第1到第4位置稱為Ⅰ區,第5到第8位置稱為Ⅱ區,第9到第12位置稱為Ⅲ區,若A不在Ⅰ區,B不在Ⅱ區,C不在Ⅲ區的排列方法有幾種?
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-16 07:30 PM 編輯 ]

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第六題
意思是x,y至少差2;y,z也至少差2
那麼x,y和y,z之間先各塞兩個數,還剩下13-3-4=6個數,可以放在x前面、x,y之間、y,z之間和z後面四個地方
所以是\(\displaystyle H_6^4 \)

第三題是怎樣??這種東西要記???我只知道上限是兩人,其他什麼單位??

第二題,我指導的學生,可是他這篇是物理的!!!!
我們學校,唉,好資值的學生都被先被其他科搶走,感嘆!!!!!!!!
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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計算證明一
\(\displaystyle \cos{x} \)的週期是\(\displaystyle 2\pi \)
\(\displaystyle \sin{\sqrt{3}x} \)的週期是\(\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
假設f(x)是週期函數,其週期為p
那麼存在正整數m,n,使得
\(\displaystyle p=m \times 2\pi , p=n \times \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
兩式相除得到\(\displaystyle \sqrt3=\frac{n}{m} \)
那麼\(\displaystyle \sqrt3 \)為有理數,與已知矛盾,
故f(x)不是週期函數

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-15 09:56 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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計算證明二
(1)
顯然所有\( a_n \)在(0,1)之間
\(\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1 \)
\(\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1 \)
兩式相減
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1}>0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{n})>0 \)
後項為正,故
\(\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>0 \)

(2)
實在找不到如何用第一小題來證,還是說其實我的第一小題不該這樣證。
看起來像積分,但是找不到,只好硬作。

先證明
\(\displaystyle a_{k}>\frac{k}{k+1} \)
就以\( x=\frac{k}{k+1} \)代入 \( x^3+\frac{x}{k}-1 \)
\(\displaystyle \frac{k^3}{(k+1)^3}+\frac{1}{k+1}-1 \)
只算分子部分
\(\displaystyle k^3+(k+1)^2-(k+1)^3=-2k^2-k<0 \)
故成立

接著就有
\(\displaystyle \frac{1}{(i+1)^2 a_{i}}<\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1} \)
所求就為
\(\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}<1 \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-15 11:28 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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引用:
原帖由 老王 於 2011-5-15 11:25 PM 發表
計算證明二
(1)
顯然所有\( a_n \)在(0,1)之間
\(\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1 \)
\(\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1 \)
兩式相減...
(1)我會用圖解來證

考慮
y=x^3-1與y=-x/n的交點的x坐標a(n)
由圖知只有唯一一個交點, 且0<a(n)<1
當n增加, 直線斜率-1/n遞增, 與y=x^3-1的交點x坐標a(n)就遞增

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請問一下填充第5題跟第10題

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填充第 10 題

解答:

設圓半徑為 \(r\) ,令如圖中的角度為 \(\theta,\)



則 \(\overline{AD}=r+r\sin\theta, \overline{CD}=2r\cos\theta\)

已知 \(r+r\sin\theta+2r\cos\theta=4\)

\(\Rightarrow r\sin\theta+2r\cos\theta=4-r\)

所以 \(\left|4-r\right|\leq \sqrt{r^2+\left(2r\right)^2}\)

解得 \(r\geq-1+\sqrt{5}\) 或 \(r\leq-1-\sqrt{5}\)

且因為 \(r\) 為半徑,所以 \(r>0.\)

故,\(r\geq-1+\sqrt{5}.\)

亦即 \(r\) 的最小值為 \(-1+\sqrt{5}.\)

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填充題第 5 題

解答:

球心必過 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面,

先寫出 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面為 \(2\cdot(x-1)+0\cdot(y-1)+1\cdot(z-4)=0\)

            \(\Rightarrow 2x+z-6=0\)

且依題意,球心亦在平面 \(E\) 上,

所以,可以先解出兩者的相交直線方程式的參數式,即為球心所在直線的的參數式

解兩面交線的參數式後,可設球心為 \(\displaystyle O(t,8-\frac{5}{2}t,6-2t)\)

則 \(\displaystyle \overline{OB}^2 = \left(t-3\right)^2+\left(8-\frac{5t}{2}-1\right)^2+\left(6-2t-5\right)^2 = \frac{45}{4}\left(t-2\right)^2+14\)

所以當 \(t=2\) 時,半徑最小為 \(\sqrt{14}\),

且此時球心坐標為 \((2,3,2)\)

故,所求球面方程式為 \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=14.\)

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可否請問一下各位老師們第7  14  15

感謝;)

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