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110竹東高中

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110竹東高中

昨天(2021/7/28)考的,共考10題。
下面檔案第一大題簡答題第4題直線方程式數字不確定,第二大題的3、4題題目數字不確定。
其它不完整的題目實在想不起來,請有記得題目的老師可以補充一下考題。
(2012/7/31更新題目)

附件

110竹東高中.pdf (266.8 KB)

2021-8-2 06:41, 下載次數: 859

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簡答3.
A, B, C 為三角形3內角,z= 根號65/5sin [(A+B)/2] (係數不太確定)+ i cos[(A-B)/2] , |z|= 忘了, 求 tan(A+B)之最小

證明3(2) 沒記錯應該是求 X^2021-Y^2021

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試題已公布

110.8.2版主補充
將題目放到第一篇

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1.
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中,當\(1\le n\le 5\)時,\(a_n=n^2\),且對所有正整數\(n\),\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立,則\(a_{110}=\)?
[提示]
循環數列1,4,9,16,25,22,17,10

設實數數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}^{\infty}\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}(n=1,2,\ldots)\),且\(a_{100}=1,a_{200}=2\),試求\(a_{300}\)。
(2002TRML團體賽)

3.
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\),且\(X\),\(Y\)均為二階方陣,滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\),\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\),若\(aX+bY=A\),其中\(a>b\),\(a,b\)為定值,試求
(1)數對\(a,b)=\)?
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)?

設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\;  \),且\(X\)、\(Y\)均為二階方陣,滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\;  \),\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \),\( aX+bY=A \),其中\( a>b \),\(a\)、\(b\)為常數,則\( X^n= \)?
(101台南二中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262)

4.
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\),則\(f(7)\)的最大值?

設\(f(x)=ax^2+bx+c\),(\(a,b,c \in R,a \ne 0,x \in R\)),已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\),令\(f(4)\)的最大值為\(M\),最小值為\(m\),則\(2M+m=\)   
(100文華高中代理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4635)

5.
設\(P\)為正\(\Delta ABC\)內部一點滿足\(\overline{AP}=2,\overline{BP}=3,\overline{CP}=\sqrt{7}\),求正\(\Delta ABC\)的邊長?

已知\(P\)為正\(\Delta ABC\)內一點,若\(\overline{PA}=\sqrt{7}\),\(\overline{PB}=\sqrt{3}\),\(\overline{PC}=2\),則\(\overline{AB}=\)?
(建中通訊解題第106期,連結有解答http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

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1.令\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n\),原式同\(\displaystyle  b_{n+4}=-b_n\)
且\(b_1=3,b_2=5,b_3=7,b_4=9\),由遞迴式推出\(b_5=-3,b_6=-5,b_7=-7,b_8=-9\)
所求為\(\displaystyle \sum_{k=1}^{109}b_k + a_1 =22\)

柯西想請問關於幾何的證明法
考試當下只有想到硬幹 向量 二次函數說明

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回復 5# satsuki931000 的帖子

向量和幾何二維寫起來一樣吧..
就是正射影長小於等於原長度

一個用向量語言寫,一個不要用向量寫直接想辦法算長度
網頁方程式編輯 imatheq

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引用:
原帖由 satsuki931000 於 2021-8-2 16:21 發表
1.令\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n\),原式同\(\displaystyle  b_{n+4}=-b_n\)
且\(b_1=3,b_2=5,b_3=7,b_4=9\),由遞迴式推出\(b_5=-3,b_6=-5,b_7=-7,b_8=-9\)
所求為\(\displaystyle \sum_{k=1}^{109}b_k + a_1 =22\)

柯 ...
柯西不等式的幾何方式呈現說明:
以下是小弟想法,請參考看看

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-4 00:46 編輯 ]

附件

1627897052421.jpg (578.13 KB)

2021-8-2 17:39

1627897052421.jpg

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請問計算第一題是否有什麼觀念可以看出是角平分線?
個人做法設折起的\(\angle ACD=\alpha \),計算AC與BC夾角\(\theta\)的cos值為\(\cos\theta \)=\(\displaystyle \frac{(\sec \alpha)^2 + (\csc\alpha)^2-(\tan \alpha)^2-(\cot \alpha)^2}{2\sec \alpha \csc \alpha}\)
化減後得\(\sin\alpha\cos\alpha\),取最大為0.5,此時\(\alpha=45^。 \)
算一堆最後是角平分線感覺有點嘔

[ 本帖最後由 cut6997 於 2021-8-3 15:14 編輯 ]

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回復 8# cut6997 的帖子

看出來不太可能
令\(\angle BCD=\alpha \),倒是可以求出摺起來的\(\overline{AB}=\sqrt{{{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}-\overline{AC}\times \overline{BC}\times \sin 2\alpha }\)

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引用:
原帖由 thepiano 於 2021-8-3 11:23 發表
看出來不太可能
令\(\angle BCD=\alpha \),倒是可以求出摺起來的\(\overline{AB}=\sqrt{{{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}-\overline{AC}\times \overline{BC}\times \sin 2\alpha }\) ...
我上面那一大串最後就是算出\(\cos \theta \) =\(\sin\alpha\cos\alpha\)=\(\displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{2}\)
不知是否有較快的方式得到這結論,還是這其實是個常用知識?

[ 本帖最後由 cut6997 於 2021-8-3 15:15 編輯 ]

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