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圓外兩點對圓上點距離乘積

larson

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1^# 大中小發表於 2020-10-31 14:16 只看該作者

圓外兩點對圓上點距離乘積

已知點\(P\)在圓\(x^2+y^2=4\)上，設點\(A(3,\sqrt{23}),B(3,-\sqrt{23})\)，求\(\overline{PA}\cdot \overline{PB}\)的最大值與最小值。

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satsuki931000

satsuki

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2^# 大中小發表於 2020-10-31 16:39 只看該作者

後記，感謝鋼琴老師和Lopez大糾正，原帖已做更改
頭一次上傳動畫檔操作有疏失還請見諒

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2020-10-31 20:01 編輯 ]

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2020-10-31 20:01

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thepiano

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3^# 大中小發表於 2020-10-31 18:49 只看該作者

回復 2# satsuki931000 的帖子

最小值不會出現在\(\left( x,y \right)=\left( 2,0 \right)\)，也就是24

小弟算的最小值出現在\(\left( x,y \right)=\left( \frac{27}{16},\pm \frac{\sqrt{295}}{16} \right)\)
此時最小值是\(\frac{7}{2}\sqrt{46}\)
方法繁瑣就不獻醜了

小弟的電腦看不到您的動畫

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Lopez

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4^# 大中小發表於 2020-10-31 18:54 只看該作者

回復 2# satsuki931000 的帖子

(-1,0) , (1,0) 好像都不在 x² + y² = 4 上 ??

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satsuki931000

satsuki

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5^# 大中小發表於 2020-10-31 20:02 只看該作者

感謝兩位老師的訂正
不過最小值除了微分法之外有沒有其他作法

小弟原先的方法錯誤在哪

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thepiano

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6^# 大中小發表於 2020-10-31 20:28 只看該作者

回復 5# satsuki931000 的帖子

化簡到最後，根號裡面是一個二次函數，可以配方求出最小值和最大值，不須微分

您的算式錯誤之處在算幾不等式中，不等號要有一邊是定值

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Lopez

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7^# 大中小發表於 2020-10-31 21:17 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

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satsuki931000

satsuki

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8^# 大中小發表於 2020-10-31 21:22 只看該作者

回復 6# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的指教

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larson

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9^# 大中小發表於 2020-11-1 14:46 只看該作者

謝謝大家的回覆

本以為很對稱可以有基本的幾何定理可用，但都無對應的幾何定理，謝謝老師們的回覆。

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larson

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10^# 大中小發表於 2020-11-6 19:13 只看該作者

為何轉複數之後答案不同？

如附件，是哪一個推論有問題，為何轉複數之後答案不同？

令\(\omega_1=3+\sqrt{23}i,\omega_2=3-\sqrt{23}i\)
則原題改為求：已知\(|\;\omega|\;=4\)，求\(|\;\omega-\omega_2|\; |\;\omega-\omega_2|\;=|\;\omega^2-6\omega+32|\;\)的最小值
答案算出來是\(2\sqrt{46}\)

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