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103全國高中聯招

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103全國高中聯招

如附件~

103.6.2補充
公佈試題疑義結果
數學科 填充第4題 原公告答案\( 2x+9y=0 \) 更正為\( \cases{x=9t \cr y=-2t} \),\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{10}}<t<\frac{1}{\sqrt{10}} \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-2 09:05 PM 編輯 ]

附件

103全國高中數學聯招試題.pdf (269.55 KB)

2014-5-31 12:02, 下載次數: 7257

103全國高中聯招疑義處理結果一覽表修正.pdf (78.67 KB)

2014-6-2 21:05, 下載次數: 4776

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單1:
法1:遞迴關係
P_n=0.8*P_(n-1)+0.6*[1- P_(n-1)]
得5*P_n= P_(n-1) +3
整理成P_n - 3/4= (1/5 )*[P_(n-1) - 3/4]
=.............=(1/5)^(n-1) *(P1-3/4)
P_n的極限值為3/4

法2:轉移矩陣
假設穩定後命中的機率為s ,不命中的機率為t
利用轉移矩陣性質可得0.8s+0.6t=s ,s+t=1
解出所求s=3/4
[註:這題的0.8若改a, 0.6改b ,所求=b/(1-a+b) ]

單2:
所求:首項=(1/2)*(2²-1²)=3/2,公比=1/16的無窮等比級數和
即(3/2) / [1-(1/16)] =8/5

單5:
令t=x-2 ,即求t²=2^t-----(*) 的實根個數
畫圖可知,當t>0時t=2,4 符合(*)解
當t<0也有一解,共3解

單6:
有名的錯排題目
秒殺做法:
若是n個人(n趨近無窮)
其答案為1/e約0.367879
(e約2.71828,就是歐拉數)

單7:
利用-1<=sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb<=1
得-3/2<=cosa*sinb<=1/2-------(1)
-1<=sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb<=1
得-1/2<=cosa*sinb<=3/2-------(2)
由(1)&(2)得-1/2<=cosa*sinb<=1/2

單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合
(紅色處感謝Superconan 兄指正)

填1:
A的兩個矩陣都是旋轉矩陣,左邊(逆時針)轉90度,右邊(逆時針)轉300度
共轉390度, 先除以360 ,得餘數=30度
30*12=360 ,n最小值為12

填4:
4x^2+9y^2=36 兩端對x微分
得8x+18y*(dy/dx)=0
dy/dx = -4x/(9y) = 2
所求為2x+9y=0

計1:
法1:配方法
x=4-2t ,y=t ,z=-2+t (t為實數)
代入x²+y²+z²=(4-2t)²+t²+(t-2)²
=6t²-20t+20
當t=5/3時,所求=10/3 有最小值
(註:這題若亂用科西不等式會錯)

法2:向量內積
假設直線L為三平面的交線
則L的方向向量t=(-2,1,1)
P(4-2t ,t ,-2+t)在L上,O(0,0,0)
所求為OP²的最小值,此時向量OP垂直方向向量t
兩向量內積為0, 即 -2(4-2t)+t+(-2+t)=0,解得t=5/3
再算OP²=10/3

法3:距離公式+正餘弦定理
(過程省略,因為有點複雜~還是不要用這招)

計3:
n²+103n+2014= [(2n+103)²-2553]/4
改為證明(2n+103)²-2553不為8000的倍數
因為2n+103為奇數,(2n+103)²個位數必為1或5或9
所以(2n+103)²-2553個位數不會有0,不為8000的倍數

計4:
先證sina*cosa為有理數 [利用 (sina+cosa)²=1+2sina*cosa ]
再用歸納法證明:
(sina)^n +(cosa)^n=(sina+cosa)[(sina)^(n-1)+(cosa)^(n-1)]- (sina*cosa)[(sina)^(n-2)+(cosa)^(n-2)]
為有理數~

考古題:
多12
填7
...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-1 12:06 AM 編輯 ]

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計算3
n^2+103n=n(n+103) 的個位只可能是0,4,8
不可能是6, 原題得證
手機發文,請見諒



103.12.5版主補充
順著thepiano的解答,你可以再思考以下的問題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3332

1.\( \pmod{10} \)要討論10種情況,那在挑同餘的數字時可不可以少一點?
\( \pmod{2} \)、\( \pmod{3} \)、\( \pmod{4} \)、\( \pmod{5} \)、\( \pmod{6} \)、…哪個同餘的數字也能證明不是2000的倍數。

2.其實這類題目出自於數學歸納法單元,只是這單元的題目都是證明是某數的倍數,那103全國聯招這題要證明"不是"2000的倍數能不能用數學歸納法證明?

3.以下幾題請用同餘的方法證明。
(1)證明\( 2^{3n}-1 \)恆為7的倍數?

(2)證明\( 11^n+1 \)永遠不是2014的倍數。

(3)設\( n \)為自然數,試以數學歸納法證明:\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數
(101全國聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6023)

(4)\( n \)為正奇數,證明256整除\( n^8-n^6+n^4-3n^2+2 \)
(102大同高中,https://math.pro/db/thread-1593-1-9.html)

4.同餘的方法比起數學歸納法有什麼優缺點?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-12-5 09:05 PM 編輯 ]

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回復 1# Ellipse 的帖子

感謝橢圓兄提供題目:

計算4:
\({{a}_{n+2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{n+1}}-\left( \frac{{{a}_{1}}^{2}-1}{2} \right)\cdot {{a}_{n}}\), 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題,速度太快了XD

填充第3題:先整理個一般化的情況

令\(R=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & -\sin \theta   \\
   \sin \theta  & \cos \theta   \\
\end{matrix} \right)\), 表示以原點為中心逆時針繞\(\theta \)角的旋轉矩陣;
\(M=\left( \begin{matrix}
   \cos \phi  & \sin \phi   \\
   \sin \phi  & -\cos \phi   \\
\end{matrix} \right)\), 表示對直線 \(y=\left( \tan \frac{\phi }{2} \right)x\) 鏡射的鏡射矩陣,則
(1) (先旋轉後鏡射)
    \[MR=\left( \begin{matrix}
   \cos \left( \phi -\theta  \right) & \sin \left( \phi -\theta  \right)  \\
   \sin \left( \phi -\theta  \right) & -\cos \left( \phi -\theta  \right)  \\
\end{matrix} \right)\] 合成後即為對直線\(y=\left( \tan \frac{\left( \phi -\theta  \right)}{2} \right)x\)鏡射
(2) (先鏡射後旋轉)
    \[RM=\left( \begin{matrix}
   \cos \left( \phi +\theta  \right) & \sin \left( \phi +\theta  \right)  \\
   \sin \left( \phi +\theta  \right) & -\cos \left( \phi +\theta  \right)  \\
\end{matrix} \right)\] 合成後即為對直線\(y=\left( \tan \frac{\left( \phi +\theta  \right)}{2} \right)x\)鏡射
本題為(1) 之情形,將\(\theta =80{}^\circ ,\phi =30{}^\circ \)代入 得到所求直線為 \(y=\tan \left( -25{}^\circ  \right)x\),
應題目要求將角度調成\(155{}^\circ \), 故選(C)

又沒看到興傑兄已經在 #12講解了本題XD,也請參考興傑兄的更直觀的圖形看法

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 07:49 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 12:56 PM 發表
感謝橢圓兄提供題目:

計算4:
\({{a}_{n+2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{n+1}}-\left( \frac{{{a}_{1}}^{2}-1}{2} \right)\cdot {{a}_{n}}\), 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題,速度太快了XD ...
沒關係啦~
連po幾題,喘口氣~
先把解題棒子交給您們~

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填充3

A²=-2A
(A+I)²=A²+2A+I=I
所求(A+I)^2014=I^1007=I

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回復 1# Ellipse 的帖子

複選10:
\(2\log a-\log b=-4\Rightarrow a={{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}\in \mathbb{N}\Rightarrow \left. 100 \right|b\), 令b=100k, 再由a的範圍知
\(3600000<{{b}^{2}}<4000000\Rightarrow 360<{{k}^{2}}<400\Rightarrow k=19\Rightarrow a=361\), 選(A)(B)


複選12:
(A) 由二項式定理可看出
(B) \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n}}\cdot {{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{n}}={{7}^{n}}={{a}_{n}}^{2}-2{{b}_{n}}^{2}\Rightarrow \frac{{{7}^{n}}}{{{b}_{n}}^{2}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}-2\)
    左式極限為0, 故\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}=2\), 由\({{a}_{n}},{{b}_{n}}>0\)知 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\sqrt{2}\)
(C) \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n+1}}=\left( 3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}} \right)+\left( {{a}_{n}}+3{{b}_{n}} \right)\sqrt{2}\) 故\({{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}\), \({{b}_{n+1}}={{a}_{n}}+3{{b}_{n}}\)
(D) \({{m}_{n}}=\frac{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}=\frac{{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}{2{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}=\frac{\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}{2\cdot \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}\to \frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+2}\ne \sqrt{2}\) as \(n\to \infty \)

故答案為ABC ~有計算錯煩請指證

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 04:28 PM 編輯 ]

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填充6:
\({{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}\), 故
所求為\({{\left( ab \right)}^{\log \left( abx \right)}}=a{{b}^{\log 1}}=1\)

\(ab\ne 1\)條件拿掉對答案應該也無傷大雅,還是只是不想讓考生猜XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 02:41 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 02:25 PM 發表
填充6:
\({{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}\), 故
所求為\({{\left(  ...
這題題目出的不錯~
您也解得很漂亮

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回復 9# Ellipse 的帖子

橢圓兄~我今天還在思索你的"凡德爾夢"行列式中XD

推理了橢圓兄的單選6的秒殺做法:
n個人的錯排機率為 \(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!}\), 取極限後
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!} \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k!}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\approx 0.367879\)

取n=10時誤差已經很小了~故選擇0.35
原來如此,又學了一招必殺,沒想過還真的不知道XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 03:44 PM 編輯 ]

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