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104高雄市聯招

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104高雄市聯招

因為心血來潮想複習Latex,跟朋友使用texmaker摸索許久,僅供參考~!

thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=4225

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-6-21 03:12 PM 編輯 ]

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104高雄市聯招.pdf (385.76 KB)

2015-6-20 02:30, 下載次數: 4127

104高雄市高中聯招(官方版).pdf (203.33 KB)

2015-6-21 15:12, 下載次數: 3864

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1.
求所有滿足\( (m+n)^m=n^m+1413 \)的所有正整數\( m,n \)。

滿足\( (m+n)^n =m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為。
連結有解答
(101文華高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=4#pid12726)

7.
如圖所示,扇形\( AOB \)之圓心角\( ∠AOB=60^{\circ} \),半徑\( \overline{AB}=1 \),則內接\( PQRS \)(\( P,Q \)在圓弧\( AB \)上)之最大面積為。


8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列,恰有三張卡片所排的順序與它的編號相同的機率為。
連結有解答
(95台灣師大 推薦甄選入學,http://www.lungteng.com.tw/LungT ... BF%EF%B8%D5%C3D.doc)

12.
將與2015互質的正整數由小到大排列,則第2015個數為。

將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列,則此數列第2014項為?
連結有答案
(103桃園高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-6-20 05:25 PM 編輯 ]

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第三題

拋磚引玉,小弟先來獻醜了。

這一次去寫還是有一些題目沒辦法在第一時間內想到,

一開始看到第三題就先跳過,最後再回來寫,發現應該不難,但是寫到一半就打鐘了...

於是回來就把題目都補算過一遍!!

如有錯誤敬請板上各位大大指正,謝謝。

3.
已知直角\(\Delta ABC\)的兩股邊長分別為\(a,b\),\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}\),試證明:\(log(a+b)-log \sqrt{6}=\frac{1}{2}(log a+log b)\)
[解答]
由正弦定理\(\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}}=\frac{2a}{\sqrt{\frac{a}{b}}}=2\sqrt{ab}=2R\)
因為\(\Delta ABC\)為直角三角形,故斜邊長為\(2\sqrt{ab}\)
由題意可列出\(\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{ab}\)
\(a^2+b^2=4ab\),故\((a+b)^2=6ab\)
經過開根號,移項,即為題目所求\(\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{6}}=\sqrt{ab}\)。

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第1,2題

如圖檔, 有錯請指教,感恩~
1.
求所有滿足\((m+n)^m=n^m+1413\)的所有正整數\(m,n\)。

2.
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。

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2015-6-23 00:50

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第4,5題

4.
設\(x,y\)為實數,且\(x,y\)滿足條件\((x-2)^2+(y-2)^2=3\),則\(\displaystyle \frac{y}{x}\)之最小值   

5.
\(x \in R\),若\(f(x)=x^3+ax^2+bx+5\)在\(x=1\)時有極小值為2,則\(f(x)\)的極大值為   

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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2015-6-23 01:23

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第6題

6.
四邊形\(ABCD\),對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(P\)點,若\(\Delta ABP\)的三邊長為\(5,6,7\),且\(\vec{AC}=2\vec{AB}+3\vec{AD}\),求四邊形\(ABCD\)的面積為   

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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6.png (56 KB)

2015-6-23 01:44

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第7題

7.
扇形\(AOB\)之圓心角\(∠AOB=60^{\circ}\),半徑\(\overline{OA}=1\),則內接矩形\(PQRS\)(\(R,Q\)在圓弧\(AB\)上)之最大面積為   

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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2015-6-23 02:06

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第8,9題

8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列,恰有三張卡片所排的順序與它的編號號相同的機率為   

9.
試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)   

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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2015-6-23 08:05

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關於第九題

根據第九題只有n個數字
所以那個1/2應該提出來使得最後的答案還要*1/2?

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回復 4# tuhunger 的帖子

第2題出處,嚴鎮軍,初中數學競賽教程
第13~14頁,不需要微分即可說明清楚

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