證明恆等式

The following identity is true for all \(a,b,c\) :

\( \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left( \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} \right) \)

如下

另證:  (分母均不為 0)

待證式左右同乘 2，再左式三項各減 1，得:

(a-b)/(b+c) + (a-c)/(b+c) + (b-a)/(a+c) + (b-c)/(a+c) + (c-a)/(a+b) + (c-b)/(a+b) = (a-b)²/(a+c)(b+c) + (a-c)²/(a+b)(b+c) + (b-c)²/(a+b)(a+c)

左式兩紅色項和 = 右式紅色項，藍綠項亦同，故得證。

感謝

左(b+c)(a+c)(a+b)=a^3+b^3+c^3+(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2+3abc
2右(b+c)(a+c)(a+b)=3(b+c)(a+c)(a+b)+(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
=3[(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2+2abc]+(a^2-b^2)(a-b)+(a^2-c^2)(a-c)+(b^2-c^2)(b-c)
=2(a^3+b^3+c^3)+2[(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2]+6abc
=2左(b+c)(a+c)(a+b)
所以左=右 , 故得證   
此證法堪稱土法煉鋼法,雖較沒技巧,但思考解題的時間是零,前述兩法雖較華麗,但思考時間恐怕較多以及未必能證出來,各位要教甄的人就必須酙酌使用了.