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101中科實中(含計算1)

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101中科實中(含計算1)

今天下午去考的,計算題乘著還有印象先寫下來

(1)拋物線:\( y^{2}=4cx \)  ,O為拋物線頂點, 直線L與拋物線交於兩點A、B,且\(\angle AOB=90^\circ\)      ,證明:L必過P(4c,0)   [七分]

(2)過P(2,1)做直線L交拋物線:\(y=\frac{1}{5}x^{2} \)於A、B兩點,且\(\angle AOB=90^\circ\),求L方程式。[三分]



(1)我是利用參數式,假設\(A(ct^{2},2ct)\)、\(B(cs^{2},2cs)\),然後用OA垂直OB得到t與s的關係,再用兩點式寫出L的方程式,y=0帶入解出x=4c,得證。

(2)就是利用(1)的結果,將數字代入。


[weiye 於 101.04.08, 18:23 附加上中科實中公布的試題與解答]

附件

101中科實中.pdf (220.39 KB)

2012-4-8 18:23, 下載次數: 6425

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題目分配總數:一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題



如圖,滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} =2012 \)

求  \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} \cdot \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} \cdot \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} \)

編號的字母可能不太一樣

填充 1x

\( a,\, b>0\) (印象中)

\(A=\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab}\), \(B=\sqrt{49+a^{2}-7\sqrt{20}}\), \(C=\sqrt{64+b^{2}-8\cdot\sqrt{3}}b\)求 \(A+B+C\) 的最小值。

註:猜測題目的 \(C\) 打錯了,裡面應該有 \(a\),改成 \(\sqrt{49+a^{2}-7\cdot\sqrt{2}a}\) 可能是原本正確的題意。

填充 1x
\( f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{44}x^{44}\),求 \(a_{6}\)。

填充 x (超眼熟的題目,考前一天做100基隆高中,才做到)

\( f(x) \) 是一個 98 次多項式,且滿足 \( f(n) =\frac{1}{n}\), \( n=1,2,3,\ldots, 99 \),求 \( f(100) \)
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-4-7 10:28 PM 發表
題目分配總數:一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題

982

如圖,滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \) ...
填充15
右圖中,\(P\)為三角形\(ABC\)內部一點,已知\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=2012 \),試求\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times \frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}= \)   
[解答]
假設三角形PBC面積為a,PCA面積為b,PAB面積為c
依題意及三角形相似性質得(b+c)/a +(c+a)/b+(a+b)/c=2012
所求=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
=[(b+c)/b][(c+a)/c][(a+b)/a]
=(1+c/b)(1+a/c)(1+b/a)
=(1+c/b+a/c+a/b)(1+b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+(c/b)(b/a)+(a/c)(b/a)+(a/b)(b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+c/a+b/c+1
=2+(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=2+2012
=2014

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回復 2# tsusy 的帖子

那題多項式f(x),會是求a_44 嗎?
很明顯a_44=1

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回復 4# Ellipse 的帖子

手殘,打錯,已修正,感謝!
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-4-7 11:28 PM 發表
可能可以用生成函數做
不過我用多項式來處理
假設展開後一般項為 [11!/(a!b!c!d!e!)] *(1)^a*(x)^b*(x^2)^c*(x^3)^d*(x^4)^e
且a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6,其中a,b,c,d,e為非負整數.
可分(a,b,c,d,e)=(5,6,0,0,0) ,(6,4,1,0,0) ,(7,2,2,0,0) ,(8,0,3,0,0) ,(7,3,0,1,0) ,(8,1,1,1,0) ,(9,0,0,2,0) ,(8,2,0,0,1),(9,0,1,0,1)共九組
所求係數
=11!/(5!*6!) +11!/(6!*4!) +11!/(7!*2!*2!)+11!/(8!*3!)+11!/(7!*3!)+11!/8!+11!/(9!*2!)+11!/(8!*2!)+11!/9!
=7887

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我不會用網頁寫數學式子..所以用貼的..
先恭喜大家了..應該不會0分

可參詳99中壢一招的計算題

[ 本帖最後由 ichiban 於 2012-4-8 01:24 AM 編輯 ]

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填充第14題
多項式\(f(x)\),已知\( deg f(x)=98 \),\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)\( (k=1,2,3,\ldots,99) \),試求\( f(100)= \)   
解法:
\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)
\( kf(k)-1=0 \)
令\( F(x)=xf(x)-1 \)
我們已經知道\( F(x) \)為99次多項式且\( F(k)=0 \),當\( k=1,2,3,\ldots,99 \)
所以\( F(x)=xf(x)-1=a(x-1)(x-2)\ldots (x-99) \)
\( \displaystyle F(0)=-1=a \cdot (-1)99 ! \Rightarrow a=\frac{1}{99} \)
\( \displaystyle F(100)=100f(100)-1=\frac{1}{99!}\cdot 99!=1 \)
\( 100f(100)=2 \)
\( \displaystyle f(100)=\frac{1}{50} \)

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6.
一隻螞蟻在一個正四面體的某一個頂點A之上,此時它隨機選擇一個臨近的頂點(每個臨近的頂點B,C,D被選中的機率皆為\( \displaystyle \frac{1}{3} \) ),並且在一分鐘之後走到那裡;接著它又隨機選擇一個臨近的頂點,並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動,那麼在n分鐘之後,它的位置恰好在頂點A的機率為?

Let A,B,C, and D be the vertices of a regular tetrahedron each of whoseedges measures 1 meter. A bug, starting from vertex A,observes thefollowing rule: at each vertex it chooses one of the three edgesmeeting at that vertex, each edge being equally likely to be chosen,and crawls along that edge to the vertex at its opposite end. Let \( \displaystyle p=\frac{n}{729} \) be the probability that the bug is at vertex A when it has crawledexactly 7 meters. Find the value of n.
(1985AIME第12題,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=45&year=1985)

101.4.19補充相關問題
有一正八面體的骨架。假設從任一頂點出發走1步,可以走到相鄰的頂點,且從任一頂點走向各相鄰頂點的機率都是\( \displaystyle \frac{1}{4} \)。現從A點出發,試分別求出走了n步之後,會走到A點、B點或C點的機率。(用n的式子表示這三項機率)
(國立台灣大學數學系101學年度學士班甄選入學,http://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

101.5.21補充
一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點A上,此時它隨機選擇一個鄰近的頂點(每個鄰近的頂點被選中的機率皆為\(  \displaystyle \frac{1}{3} \)),並且在一分鐘之後走到那裡;接著它又隨機選擇一個鄰近的頂點,並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動,那麼恰在30分鐘後,它的位置恰好在一開始起步之頂點A的機率是多少呢?(以指數表示,不必乘開)
(101台中二中,https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html)


9.設a,b為正實數,\( A=\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{2}ab} \),\( B=\sqrt{49+a^2-7 \sqrt{2} a} \),\( C=\sqrt{64+b^2-8 \sqrt{3} b} \),則\( A+B+C \)之最小值?

\( \forall x>0,y>0 \),\( \sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{y^2-3y+3}+\sqrt{x^2-\sqrt{3}xy+y^2} \ge \sqrt{6} \)
(99中壢高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371)


14.
f(x)為98次多項式,而\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} \),當\( k=1,2,3,...,99 \),求f(100)
(奧數教程 高一 第20講構造函數解題)
(100基隆高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108)

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「中科實中中部科科第一」,相同字不相鄰有幾種排法?

走20階樓梯,每次只能走2階或是3階,不走第8階,但是要走第12階的走法有幾種?

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