99南港高工

題目如附件

2.一個質點由數線上的原點出發，假設該質點每次運動只能右移一步或左移一步
(一步為一單位的距離)，沿著數線的正向以進4步再退3步的方式運動。以\( x_n \)表示第n步質點在數線上的座標，例如\( x_1=1 \)，\( x_2=2 \)，\( x_5=3 \)，求\( x_{2010} \)。
[解答]
走了7步後位置會往右移一步，2010=7*277+1，最後位置在288


12.有一個100列的數表，第一列為1,2,3,...,100；第二列為3,5,7,...,199；第三列為8,12,16,...,396；第四列為20,28,36,...,788；
(每個數都是肩膀上的兩個數的和)，求最後一列的數的值。

１　２　３　４　５　６　…　99　100
　３　５　７　９　11　………　199
　　８　12　16　20　………
　　　20　28　36　………
　　　　　………………
　　　　　　…………
　　　　　　　ａ
(說明 一個倒三角形,下一行的數字為上一行相鄰兩數的和)求a。
(98北一女，https://math.pro/db/thread-784-1-2.html)

１　２　３　４　…　2006　　2007　　2008　　2009
　３　５　７　　…　　　4013　　4015　　4017
　　８　12　　　…　　　　　8028　　8032
　　　20　　　　…　　　　　　　16060
　　　　…　　　…　　　　　　　…
　　　　　　　　Ｋ
已知一個排列如三角形狀的數列如上所示：其中第一列各數依次為1, 2, 3, … , 2009。
從第二列起，每個數分別為上一列的左與右兩數的和。求此三角形最下方的數字K=?
(建中通訊解題第72期)


15.設[x]表示不大於x的最大整數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; ^{2010} \Bigg]\; \)除以7的餘數。
[解答]
令\( \displaystyle f(n)=\Bigg(\; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; ^n+\Bigg(\; \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; ^n (mod 7) \)
\( \displaystyle f(n)=\Bigg(\; \frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; f(n-1)-\Bigg(\; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; f(n-2) (mod 7) \)
\( f(n)=f(n-1)+f(n-2) (mod 7) \)
\( f(1)=1 \)，\( f(2)=3 \)
每16個一循環1,3,4,0,4,4,1,5,6,4,3,0,3,3,6,2
\( f(2010)=f(10)=4 \)，但\( \Bigg(\; \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; ^{2010}<1 \)
故餘數應為3

試求\( \displaystyle cot^{2003} \frac{\pi}{12}+tan^{2003} \frac{\pi}{12} \)除以9的餘數
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17865　(連結已失效)
題目已經被原PO刪除了在此補上

想請教4,5,9,11,12..........
@@多謝

第 4 題

提示：\(L:x+y-4+m\left(2x+y-7\right)=0\Rightarrow\) 直線 \(L\) 恆通過定點 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}x+y=4\\2x+y=7\end{array}\right.\Rightarrow \left(x,y\right)=\left(3,1\right).\)




第 9 題

P(丟兩粒骰子，其和為\(9\))\(\displaystyle =\frac{4}{36}\)

所求\(\displaystyle=C^4_2\cdot\frac{4}{36}\cdot\frac{14}{36}\)


Note: 先四顆中選出兩顆，使其和為 \(9\)，另外的兩顆除了其合不為 \(9\) 之外，也不能跟最初選的兩顆加起來為 \(9.\)

下圖是其中一例，當最先選出兩粒為 \(4,5\) 的情況，圖中紅色處即是後選的兩粒不可以選擇的情況。當然如果一開始選的兩粒是 \(3,6\)，會不能選的情況個數還是一樣的。






第 12 題

\(1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 100\)
\(3, 5, 7, 9, 11, ...,199\)
\(8, 12,16,20, ..., 396\)
　　　　　　：
先觀察共有 \(100\) 列，且每列都是等差數列，

將每列的數列都倒著寫回來，即為
\(100, 99, 98, 97, 96, 95, ..., 1\)
\(199, 197,195,193,191 ..., 3\)
\(396, 392,388,384, ...,8\)
　　　　　　：

然後將這兩的倒三角形的對應位置加起來，形成新的 100 列的數列，
第一列是 \(101,101,101,....,101\) 共 100 項
第二列是 \(202,202,202,...,202\) 共 99 項
第三列是 \(404,404,404,...,404\) 共 98 項
　　　：
第100列是 \(101\times 2^{99}\) 共 1 項

所以，題目所求為 \(\displaystyle=\frac{101\times2^{99}}{2}=101\times2^{98}.\)

第 11 題：將自然數 \(n\) 接在任何一個自然數的右邊，都能被 \(n\) 整除（例如將 \(2\) 接在任何自然數的右邊，均可被 \(2\) 整除），則稱 \(n\) 為魔術數。求小於 \(300\) 的魔術數的個數。


解答：

case i: 先找一位數的 \(n\)

\(\displaystyle n\Big|\left(p\times 10+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 10, \,\forall p\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\Big|10\Rightarrow n\Big|2\cdot5 \Rightarrow n\) 有 \((1+1)(1+1)-1=3\) 個。（正因數扣掉 \(10\) 之後的個數。）


case ii: 再找二位數的 \(n\)

\(\displaystyle n\Big|\left(p\times 100+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 100, \,\forall p\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\Big|100 \Rightarrow n\Big|2^2\cdot5^2 \Rightarrow n\) 有 \((2+1)(2+1)-5=4\)  個。（正因數扣掉 \(4,100\) 與 case i 一位數之後的個數。）


case ii: 再找三位數的 \(n\)

\(\displaystyle n\Big|\left(p\times 1000+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 1000, \,\forall p\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\Big|1000 \Rightarrow n\Big|2^3\cdot5^3\)

且因為 \(n<300\)，所以 \(n\) 只有 \(100,125,200,250\)，共 \(4\) 個。


故，題目所求的數字共有 \(3+4+4=11\) 個。

第5題
十進位制的三位數字[abc] 中，a，b，c 成等差數列，求這種三位數的最大
質因數。(十進位制的三位數[abc] = a×10^2 + b×10^1 + c )

解：
首先[abc]必為合數(因a+b+c=3b)
令a,b,c公差d(d為整數)，
(1) 欲得[abc]的最大質因數，故a先試最大的9
=> c=a+2d為奇數
[abc]可能為999(37), 987(47), 975(13), 963(107), 951(317)　(括號內為該三位數的最大質因數)
(2) 若a為小於或等於8的偶數, 則c=a+2d必為偶數, 得[abc]是6的倍數, 故其最大質因數 <= [899/6]
(3) 若a為小於或等於7的奇數, 因[abc]是3的倍數, 故其最大質因數 <= [799/3]
由上知[abc]最大質因數為317

想請教第6題,謝謝

第 6 題

\(0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720\)

\(7!\) 是四位數，必定爆表！

所以，\(x,y,z\) 三數都不會是 \(7,8,9\) 的任一個

又因為 \(6!=720\)，所以如果右邊有 \(6!\)，

加起來之後，左邊開頭就有 \(7\) 以上，

所以也 \(x,y,z\) 也不可能出現六～



因為 \(x!+y!+z!\) 加起來是三位數，

且 \(1!,2!,3!,4!\) 可重複使用地任取三個加起來都不會是三位數，

所以右邊必有 \(5!\)

如果右邊只有一個 \(5!\) 的話，

則 \(\overline{xyz}\) 的首位數字 \(x=1\)

然後，\(y=5\) 或 \(z=5\)



再來窮舉就好了！

\(1!+1!+5!=122\) 不合

\(1!+2!+5!=123\) 不合

\(1!+3!+5!=127\) 不合

\(1!+4!+5!=145\Rightarrow x=1,y=4,z=5.\)


如果右邊恰有兩個 \(5!\Rightarrow x=2\Rightarrow 5!+5!+2!=242\) 不合


如果右邊恰有三個 \(5!\Rightarrow 5!+5!+5!=360\) 不合



故， \(x=1,y=4,z=5\) 且 \(x+y+z=10.\)

不好意思我感覺第6題應該是 y=4 z= 5,

想請教第13題,謝謝