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106年華江高中數學科試題.pdf (376.25 KB)

2017-6-16 18:52, 下載次數: 3293

106年華江高中數學科答案.pdf (78.89 KB)

2017-6-16 18:52, 下載次數: 3020

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15.

\(x\in R\),當\(\sqrt{x^4-15x^2-4x+68}-\sqrt{x^4-3x^2-2x+5}\)有最大值時,則\(x=\)   

設A(2,8),B(1,2),P(x,x^2),P在y=x^2 圖形上游走
原式=PA-PB<=AB=\(\sqrt{37}\)=MAX
此時A,B,P三點共線=>(x-1)/1=(x^2-2)/6=>x=3-\(\sqrt{5}\) (取負的,若要最小值則取正的)

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14題南二中考過

已知函數\(\displaystyle y=log_2(kx^2)+\frac{3x}{4}\)的圖形與函數\(\displaystyle y=2^{|\;x|\;}+\frac{3x}{4}\)的圖形交於\(A,B\)兩點,若\(\overline{AB}=10\),則\(k=\)   

又是抄襲,已經錯誤的命題,一再出現。

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回復 3# son249 的帖子

我曾經對南二中提出疑義,但該校數學科教學研究會認為無誤,堅持不送分。但我的博士班指導教授兼教務長認為,二交點A,B如果非對y軸對稱,就無法算出答案。其他非對稱的兩點A,B距離仍有可能距離為10。所以我建議有參加這次考試的考生,再次向該學校提出疑義,或許可送分。

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回復 4# son249 的帖子

14 題,作圖,可知 \( k=4096 \) 時,與題意中的已知交於 A, B 兩點矛盾
文不成,武不就

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10.

\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=5\),\(\overline{AC}=3\),\(∠A=2∠B\),則\(\Delta ABC\)之內切圓半徑為   
[解答]
做\(∠A\)之角平分線\(\overline{AD}\)交\(\overline{BC}\)於\(D\),設\(\overline{BD}=5x,\overline{DC}=3x\)
由\(\Delta ABC \cong \Delta DAC\),得\(\displaystyle \frac{3x}{3}=\frac{3}{8x}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{4}\)
\(\displaystyle cosA=\frac{5^2+3^2-(2\sqrt{6})^2}{2 \times 3 \times 5}=\frac{1}{3}\Rightarrow sinA=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
再由\(\displaystyle \Delta =\frac{1}{2}\times 3 \times 5 \times \frac{2\sqrt{2}}{3}=rs=r \times(4+\sqrt{6})\Rightarrow r=2\sqrt{2}-3\),其中\(\displaystyle s=\frac{5+3+2\sqrt{6}}{2}\)

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第1題
恰有兩個數字相同的三位數有   個。
[解答]
aab(加排列數) + aa0 or a0a +b00
\(
\displaystyle C_2^9  \times 2! \times \frac{{3!}}{{2!}} + C_1^9  \times 2 + 9 = 243
\)

第7題
華江熱食部餐點一共有水餃(只供應韭菜水餃)、便當(供應排骨、雞腿便當),湯麵(供應肉羹麵、土魠魚羹麵、魷魚羹麵)三種類型,共有6種餐點。小明每天中午都在熱食部隨機選購1種餐點,而且每天選購的類型皆與前一天相異,例如:若小明周一選購湯麵類,則周二就從水餃類、便當類共三種餐點中隨機選購1種餐點。長期而言,小明選購排骨便當的機率為   
[解答]
\(
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
\displaystyle   {\rm{0}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}}  \\
\displaystyle   {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} & {\rm{0}} & {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}}  \\
\displaystyle   {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} & {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}} & {\rm{0}}  \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   {1 - x - y}  \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   {1 - x - y}  \\
\end{array}} \right]
\)
\(
\displaystyle 得y = \frac{4}{{11}},再乘機率\frac{1}{2}即為所求
\)

速算法應該如何表述呢?

第8題
設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點,若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點,\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦,\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\),則\(\Delta PQF_1\)周長為   

怪怪的,算出來跟答案不一樣

第9題
\(y=f'(x)\)如下圖,\(y=f'(x)\)在\(x=3\)時有極大值,在\(x=5\)時有極小值,三個封閉區域\(A、B、C\)面積分別為7、6、4,且\(f(0)=10\),\(f'(7)=2\),若\(g(x)=[f(x)]^2\),則在\(y=g(x)\)上,以\((7,g(7))\)為切點的切線方程式為   
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 令切線為 y - [f(7)]^2  = g'(7)(x - 7) \\
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle g'(7) = 2f(7)f'(7) = 4f(7) \\
\displaystyle  \int\limits_0^7 {f'(x)dx = -7-6+4=-9,f(7) = 1}  \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)

第11題
假設\(1,2,3,4,\ldots,10^5\)這十萬個正整數中,各位數字和不大於10的正整數有\(n\)個,則\(n=\)   
(例如:\(7,24,250,3211,12441,\ldots\)皆合乎題意)
[解答]
\(H_{10}^6 \) - 5 + 1(100000補上) - 1(扣掉0) = 2998


第12題
某班級一周有4節藝能課:包含2節體育課,1節音樂課,1節美術課,而排課原則如下:
(1)2節體育課不能排在同一天或相鄰的2天,
(2)1天中最多只有2節藝能課。
請問:此班級在這一周5個上課天這4節藝能課的排課分布情形一共有   種不同的方法﹒
(Ps:只考慮此4節藝能課從星期一到星期五的分布情形,不須考慮在每天的哪一節課。)
[解答]
(1)藝能課和體育課不能在同一天\(C_2^4  \times 3^2  = 54\)
(2)藝能課和體育課皆在同一天\(C_2^4  \times 2 = 12\)
(3)僅一節藝能課和體育課在同一天,另一節不能在同一天\(C_2^4  \times 2 \times 2 \times 3 = 72\)

第13題
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)、\(\vec{u}\)為空間中的四個向量。若已知\(\vec{a}\times \vec{b}=(-2,2,1)\),\(\vec{a}\times \vec{c}=(2,1,2)\)且\(|\;\vec{a}|\;=6\),\(\vec{u}=(1,-2,3)\),求\(\vec{a}\)與\(\vec{u}\)所張出之平行四邊形面積為   
[解答]
\(\displaystyle  \vec a \times \vec b 與  \vec a \times \vec c 外積後的向量平行 \vec a
\)


第14題
請教先進,題目敘述要怎麼修正才能符合呢?

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 13:59 編輯 ]

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引用:
原帖由 eyeready 於 2017-6-20 12:31 發表
第8題  怪怪的,算出來跟答案不一樣
小弟算的答案跟官方公布的一樣

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回復 8# thepiano 的帖子

第8題
設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點,若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點,\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦,\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\),則\(\Delta PQF_1\)周長為   

\(
\displaystyle 由餘弦定理得知 {\rm{(4}}\sqrt {\rm{7}} )^2 = x^2 + (8 + x)^2 - 2x(8 + x)\cos 60^ \circ ,x = 4
\)
\(
\displaystyle 再由焦半徑性質得知 \frac{1}{4} +\frac{1}{y} = \frac{4}{{\frac{{2 \times 12}}{4}}},y=\frac{{12}}{5}
\)
\(
\displaystyle 三角形周長為16+2x+2y= \frac{{144}}{5}
\)
謝謝thepiano老師幫忙檢驗!小弟把算式補上!

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 14:14 編輯 ]

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請教第9題的圖
是可以當作\(f'(3)=0\)及\(f'(6)=0\)嗎?還是根本沒有這些條件?

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