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設a為自然數,且17×a是一個由數字0或1所組成的多位自然數

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設a為自然數,且17×a是一個由數字0或1所組成的多位自然數

朋友問的嘉中科學班101第一階段甄選試題的第18題。

題目:設 \(a\) 為自然數,且 \(17\cdot a\) 是一個由數字 \(0\) 或 \(1\) 所組成的多位自然數,則 \(a\) 的最小值為__________。

解答:

因為 \(10^0\equiv 1 \pmod{17},\)

   \(10^1 \equiv 10\pmod{17},\)

   \(10^2\equiv-2\pmod{17},\)

   \(10^3\equiv-3\pmod{17},\)

   \(10^4\equiv4\pmod{17},\cdots\)

所以,\(10^0+10^2+10^3+10^4\equiv 0\pmod{17}\) 且 \(10^0+10^2+10^3+10^4\) 為滿足題意由0或1構成的且最小的 \(17\) 的倍數。

因此,所求之最小 \(\displaystyle a=\frac{10^0+10^2+10^3+10^4}{17}=\frac{11101}{17}=653.\)


題目來源:http://www.cysh.cy.edu.tw/releaseRedirect.do?unitID=183&pageID=3089

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