99全國高中聯招
題目和答案如附件填充題
2.空間中一四面體的四頂點分別為\( A(0,0,1) \)，\( B(2,4,0) \)，\( C(0,0,0) \)，\( D(4,2,0) \)，平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，則E的方程式為？
申覆結果此題送分
空間中一四面體的四個頂點分別為\( A(0,0,1) \)，\( B(2,4,0) \)，\( C(0,0,0) \)，\( D(4,2,0) \)，平面E[color=blue]通過A與\( \overline{BD} \)中點且與\( \overline{BC} \)有交點[/color]。若平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，則E的方程式為？
(98高中數學能力競賽 台中區複試試題)
[url=https://math.pro/db/thread-911-1-3.html]https://math.pro/db/thread-911-1-3.html[/url] 1.平面上，設\( A(0,4) \)，\( B(0,9) \)，P在正向x軸上移動，設\( ∠APB=\theta \)，則\( tan \theta \)之最大值為
(A)\( \displaystyle \frac{5}{6} \) (B)1 (C)\( \displaystyle \frac{5}{12} \) (D)\( \frac{7}{5} \)。
參考右圖在直角坐標的y軸上有兩點\( A(0,a) \)，\( B(0,b) \)，\( a>b>0 \)有一點C在x軸的正向上，\( ∠ACB=\theta \)，則當C點坐標為[u] [/u]時，\( tan \theta \)有最大值[u] [/u]
(94暨大附中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13656 連結已失效)
小安最近趕流行到歷史博物館參觀田園之美畫展，其中有一幅巨大壁畫高9公尺，其下端離地面4.5公尺，小安眼睛距地面1.5公尺，則他應站在離牆\(x\)公尺處欣賞此畫作，可得最大視角\( \theta \)，求此x值與\( tan \theta \)值大小？請你為附庸風雅的小安解出最佳觀賞位置吧!
(97大安高工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771 連結已失效)
已知座標平面上點\(A(0,3)\)和\(B(0,4)\)，試求\(x\)軸上的一點\(C(x,0)(x>0)\)使得\(\angle ACB\)最大。
(108桃園高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3144&page=3#pid20079[/url])
113.5.7補充
設二次函數\(y=x^2-6x+5\)的圖形交\(x\)軸於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是直線\(x+y=−4\)上的動點。當\(\angle APB\)有最大值時，\(\Delta ABP\)的外心坐標為[u] [/u]。
(113南港高工，連結有解答[url]https://math.pro/db/thread-3863-1-1.html[/url])
9.若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4)，且此橢圓與直線\( x+y+1=0 \)相切，則此橢圓的長軸長為
(A)\( \sqrt{26} \) (B)\( \sqrt{23} \) (C)\( \sqrt{22} \) (D)\( \sqrt{17} \)
我的教甄筆記 橢圓曲線的光學性質
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807[/url]
二計算及證明題：
3.設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。
回復 2# bugmens 的帖子
1.這個是最大視角問題要有最大視角 會有圓通過A,B
並且跟x軸相切
超喜歡這一題 因為是我指導老師某一本講義封面 XD
2. 考sinx的二倍角公式
先把兩個函數角度調成一樣 就可以套二倍角公式
3. 不會 XD
4. 提出 \(\displaystyle{\frac{1}{sinx}}\) 剩下就是調角度了
或是從答案反推 XD
5. 不曉得遞迴可不可以解
我是列出x+2y=12的非負整數解
再分別討論不連續2步的情況
6. \(\displaystyle{n-3|n^3-3n^2+5n-13}\),\(\displaystyle{n-3|n-3}\) 好歡樂
7. 題目已經偷偷告訴你 u,v,w所圍成體積=6了 後面的體積會= 行列式值*6
8. 硬算 P,Q,R 再帶回去硬解a,b,c 硬梆梆 或許有很快的作法?
9. 快一點的 把一個焦點作對稱 然後直接連線 神速
慢一點的 假設橢元參數式 然後帶回直線 硬解長軸短軸
好吧 我這題用慢的那一個方法 腦袋有點生鏽了
10. 據說是\(\displaystyle{\frac{1}{2}ln(1+x^2)}\)的積分
填充1. 就找公比去算吧
填充2. 感覺有無窮多組解 等送分 Ya~~
計算1. 就求反函數阿
計算2. 數學歸納法硬作很快
計算3. 鴿籠原理
計算4. 就積分阿 套用微積分基本定理
計算5. 翻課本 [quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2010-6-26 03:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2308&ptid=978][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
3. 不會 XD
[/quote]
我用猜的也是猜錯
PTT有人解出來了
前往參考看看吧 補一下
第3題
設有一球，其表面積以每秒1平方公分的變化率增加，則在半徑為3公分時，其體積的瞬間增加率為每秒多少立方公分？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{2}\) (C)2 (D)\(\displaystyle \frac{8}{3}\)
[解答]
\(\displaystyle A=4\pi r^2，\Rightarrow dA=8\pi rdr， \frac{dA}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt} \)
\(\displaystyle \frac{dr}{dt}=\frac{1}{8\pi r} \)
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=A\times\frac{dr}{dt}=\frac{36\pi}{24\pi}=\frac{3}{2} \)
第5題
小明上樓梯時可能一步上一階或一步上兩階，但不會連續兩步都上兩階。今小明走一個12階的樓梯，則上樓梯的方式共有
(A)88 (B)89 (C)90 (D)91
[解答]
98高中競賽嘉義區(二)第六題
我是用遞迴
走上n階分成
先走一階，有\( a_{n-1} \)種
先走兩階，必然要再走一階，所以有\( a_{n-3} \)種
也就是\( a_n=a_{n-1}+a_{n-3} \)
就1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,60,88
第10題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}=\)
(A)\(ln(\sqrt{2}+1)\) (B)\(ln2\) (C)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{2}ln2\)
[解答]
\(\displaystyle \frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\times \frac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2} \)
填充二
空間中一四面體的四頂點分別為\(A(0,0,1)\)，\(B(2,4,0)\)，\(C(0,0,0)\)，\(D(4,2,0)\)，平面\(E\)將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，則\(E\)的方程式[u] [/u]。
應該少了"過A點"這個條件。
回復 5# 老王 的帖子
歐歐 遞迴漂亮 沒想到這點第10題 沒發現他是黎曼和 對微積分真的不夠熟阿
第3題也是 我微積分太弱了
老王是高手 計算第二題
設\(\alpha\)與\(\beta\)是相異兩實數，並且\(\alpha>\beta>0\)。定義數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)如下：
\(a_1=\alpha+\beta\)；當\(n\ge 2\)時，\(\displaystyle a_n=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{a_{n-1}}\)
(1)試證：\(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}\)
(2)求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
[解答]
說真的，我們會解的遞迴數列太少，而解法又很不相同；這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317
令\(\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n} \)
\(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}=\frac{(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1}}{p_{n-1}} \)
\(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1} \)
\(\displaystyle q_n=p_{n-1} \)
由第二式知道\(\displaystyle q_{n-1}=p_{n-2} \)
代入第一式得到\(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta p_{n-2} \)
於是解這個二階遞迴數列得到\(\displaystyle p_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n \)
代入初始條件\(\displaystyle p_1=\alpha +\beta ；p_2=\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2 \)
解得\(\displaystyle c_1=\frac{\alpha}{\alpha -\beta} ； c_2=\frac{-\beta}{\alpha -\beta} \)
結論就出現了 請教計算第2的(2)如何算.及
計算第3能否寫一下要怎麼證.
計算第4.答案是 根號 [(t^2+3)/pi] 嗎?
謝謝~ 計算第 2 題的(2)
因為 \(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}\)，注意其中 \(\displaystyle0<\frac{\beta}{\alpha}<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0.\)
所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha.\)
註：感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯！已修正。^___^
計算第 3 題
設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於\(\displaystyle \frac{1}{2}\)。
[解答]
取三角形三邊中點，並將之連接，
可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域，
則在大三角形內部任取五點時，必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內，
因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)（即小三角形的邊長），
所以在大三角形內部任取的五點中，
至少有兩點的距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)。
計算第 4 題
已知對於所有的\(t\ge 0\)，曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸，\(y\)軸及直線\(x=t\)所圍成區域繞\(x\)軸旋轉所得之立體體積為\(t^3+3t\)，試求\((x)\)。
[解答]
\(\displaystyle \int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx=t^3+3t\)
\(\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx\right)=\frac{d}{dt}\left(t^3+3t\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow\pi\left(f(t)\right)^2=3t^2+3\)
\(\displaystyle\Rightarrow f(t)=\pm\sqrt{\frac{3t^2+3}{\pi}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{\frac{3x^2+3}{\pi}}.\) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2010-6-28 03:09 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2330&ptid=978][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第二題
說真的，我們會解的遞迴數列太少，而解法又很不相同；這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317
令\(\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n} \) [/quote]
我想請問王大的這篇
從"於是解這個二階遞迴數列得到..."就不知如何往下導出,希望那位大大能幫忙?
另外,還有選擇第8題,謝謝 可以參考李吉彬老師這篇對於遞迴數列的介紹 h ttp://cplee8tcfsh.googlepages.com/recursive.pdf(連結已失效)
見其中之【貳、二階遞迴數列】。
看完之後，再回頭來看這一段：
因為 \(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta p_{n-2} \) 的特徵方程式
為 \(x^2=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta\Rightarrow (x-\alpha)(x-\beta)=0\)
其兩根為 \(\alpha,\beta\)，
所以，可以令此遞迴數列的一般項為 \(\displaystyle p_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n\)，
再帶入題目有給的 \(p_1\) 與可以容易算出的 \(p_2\)，
解聯立方程式，可得 \(c_1,c_2\)。 選擇第 8 題：
已知三次函數 \(\displaystyle y = x^3 + ax^2 + bx + c\) 之圖形與拋物線 \(\displaystyle y = x^2\) 之圖形交於相異三點 \(\displaystyle P(-1, y_1 )\)、\(\displaystyle Q (\frac{1}{2},y_2) \)、\(\displaystyle R(x_3, y_3 )\)，且 \(\displaystyle \overline{PQ}\) 垂直 \(\displaystyle \overline{QR}\)，則 \(\displaystyle a + b + c =\)______。
解答：
\(\displaystyle P,Q\) 兩點在 \(\displaystyle y=x^2\) 直線上，帶入可得 \(\displaystyle y_1=1,y_2=\frac{1}{4}\)，
再來找 \(R(x_3,x_3^2)\)，
因為 \(\displaystyle \overline{QR}\) 與 \(\displaystyle \overline{PQ}\) 垂直，所以斜率相乘等於 \(\displaystyle -1\)，
從而解出 \(\displaystyle R(\frac{3}{2},\frac{9}{4})\)，
將 \(\displaystyle P,Q,R\) 三點帶入 \(\displaystyle y=x^3+ax^2+bx+c\)，
可解得 \(\displaystyle a=0,b=-\frac{5}{4},c=\frac{3}{4}\)
回復 12# weiye 的帖子
選擇第7題還不會希望有高手能幫忙感溫
回復 13# nanpolend 的帖子
其實在 iamcfg 前面的回覆中就已經有寫解答了[color=Red][b]『7. 題目已經偷偷告訴你 u,v,w所圍成體積=6了 後面的體積會= 行列式值*6』[/b][/color]選擇題第 7 題：
設 \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) 是空間向量且 \(\vec{u}\cdot \left(\vec{v}\times\vec{w}\right)=6\)，則三向量 \(2\vec{v}+\vec{w}, 3\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}, 4\vec{u}+\vec{w}\) 所張開的立體體積為？
解答：
\(\displaystyle | \det(\left[\begin{array}{ccc}2\vec{v}+\vec{w}\\ 3\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}\\ 4\vec{u}+\vec{w}\end{array}\right] )|\)
\(\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |\)
\(\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] ) \cdot \det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |\)
\(\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] ) | \cdot | \det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |\)
\(\displaystyle=14\cdot\left|\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\right|\)
\(\displaystyle=14\cdot 6\)
\(\displaystyle=84\)
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[size=2][font=新細明體][size=9pt]選擇第[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt] 8 [/size][/font][font=新細明體][size=9pt]題也可以不算出[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt]a,b,c[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt][/size][/font]
[font=新細明體][size=9pt]在解出[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt]\(\displaystyle x_3=\frac{3}{2}\)[/size][/font][font=新細明體][size=9pt]之後，[/size][/font]
[font=Helvetica][size=9pt][/size][/font]
[font=新細明體][size=9pt]因為[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt] \(\displaystyle -1\),\(\displaystyle \frac{1}{2}\),\(\displaystyle \frac{3}{2}\) [/size][/font][font=新細明體][size=9pt]為[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt] \(\displaystyle x^3+ax^2+bx+c=x^2\) [/size][/font][font=新細明體][size=9pt]之三根[/size][/font]
[font=Helvetica][size=9pt][/size][/font]
[font=新細明體][size=9pt]所以[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt] \(\displaystyle x^3+(a-1)x^2+bx+c=(x+1)(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2})\)[/size][/font]
[font=Helvetica][size=9pt][/size][/font]
[font=新細明體][size=9pt]令[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt]x=1[/size][/font][font=新細明體][size=9pt]，即可得[/size][/font][font=Helvetica][size=9pt] \(\displaystyle a+b+c=(1+1)(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}\)[/size][/font]
[/size]
回復 11# weiye 的帖子
遞回關係證明我這方面蠻弱的可以嘗試用數學歸納法證明嗎
回復 17# nanpolend 的帖子
計算證明題：第 2 題，第 1 小題：（以數學歸納法證明之）
1. 當 \(n=1\) 時，右式\(\displaystyle=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}=\alpha+\beta=a_1=\)左式。
2. 假設當 \(n=k\) 時，欲求證之式成立，亦即假設 \(\displaystyle a_k=\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha^k-\beta^k}\)，
則當 \(n=k+1\) 時，右式\(\displaystyle=\frac{\alpha^{k+2}-\beta^{k+2}}{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}\)
\(\displaystyle=\frac{\left(\alpha+\beta\right)\left(\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}\right)-\alpha\beta\left(\alpha^k-\beta^k\right)}{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}\)
\(\displaystyle=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{\displaystyle\left(\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha^k-\beta^k}\right)}\)
\(\displaystyle=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{a_k}\)
\(=a_{k+1}=\)左式
由 1. 2. 及數學歸納法原理，可知所求證之式，對於任意自然數 \(n\) 恆成立。
回復 18# weiye 的帖子
感謝weiye 老師回復 9# weiye 的帖子
weiye大大 計算第二題的第2小題中 有小錯誤 應該是減號 ^^頁:
[1]
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