99高雄市聯招
剛打完,請各位慢慢欣賞考古題超多的....
(感謝bugmens大提供PTT網友的指正!990712) 感謝八神庵提供題目
其他的討論請見 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3902]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3902[/url]
1.求值\( \displaystyle \frac{9^{\frac{1}{1001}}}{9^{\frac{1}{1001}}+3}+\frac{9^{\frac{2}{1001}}}{9^{\frac{2}{1001}}+3}+...+\frac{9^{\frac{1000}{1001}}}{9^{\frac{1000}{1001}}+3} \)
\( \displaystyle \frac{\pi^{\frac{1}{99}}}{\pi^{\frac{1}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{2}{99}}}{\pi^{\frac{2}{99}}+\sqrt{\pi}}+...+\frac{\pi^{\frac{98}{99}}}{\pi^{\frac{98}{99}}+\sqrt{\pi}} \)
(95台中高農，[url=http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421]http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421[/url])
9.在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？
將半徑為a的半球體容器裝滿了水，今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)，則流出水量之體積=？
(93國立大里高中)
在半徑為6的半球容器內裝滿水，若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \)，求流出的水量。
(98清水高中，[url]https://math.pro/db/thread-836-1-1.html[/url])
10.設a,b,c為△ABC之三邊長，試證\( \displaystyle \frac{1}{b+c-1}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c} \ge \frac{9}{a+b+c} \)
96新竹女中，[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1254]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1254[/url]
12.試解聯立方程式\( \cases{x+y=5 \cr x^4+y^4=97} \)
95中壢高中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=555 首先謝謝八神庵辛苦的打字
想請問各位老師第14題如何下手 [quote]原帖由 [i]Duncan[/i] 於 2010-6-23 11:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2286&ptid=975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
首先謝謝八神庵辛苦的打字
想請問各位老師第14題如何下手 [/quote]
第 14 題：
有七個火柴盒，圍成一圓圈，如圖（請見首篇的附加檔案）所示，長方形框框表示火柴盒，框框內的數字表示該火柴盒內所裝火柴數，現在想搬動各盒中的一些火柴至相鄰的火柴盒中，每次搬一根，最後使每一盒火柴盒內的火柴數相等，則搬動次數最少為幾次？
把各位置都扣掉平均數之後，
我的移動方式如下（取最短移動路徑，且不出現同一線段有互逆的箭頭。）
[img]http://i.imgur.com/uoGJT.jpg[/img]
移動次數為 \(\left(4+3+1+7\right)\times1+\left(1+2\right)\times3=24\) 次。
第14題
絕對值函數h ttp://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc
102.5.23補充
連結已經失效，將檔案重新上傳到math pro。 [quote]原帖由 [i]kuen[/i] 於 2010-6-24 12:41 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2291&ptid=975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
絕對值函數
http://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc [/quote]
原來如此，感謝！ ^_^ 19.已知複數\( z_1 \)，\( z_2 \)滿足以下條件：\( |\ z_1+z_2 |\ =\sqrt{3} |\ z_1 |\ \)，且
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})=Arg(\frac{z_2}{z_1+z_2})<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}= \)？
[補充]
PTT有代數的解法，這裡補充幾何的解法
令\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=Z \) ， \( \displaystyle \frac{z_1+z_2}{z_1}=1+Z \) ， \( \displaystyle \frac{z_2}{z_1+z_2}=\frac{Z}{1+Z} \)
\( \displaystyle |\ 1+\frac{z_2}{z_1} |\ =\sqrt{3} \) ， \( 1+Z \)的絕對值為\( \sqrt{3} \)
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})<\frac{\pi}{2} \) ， 設\( 1+Z \)的主幅角為\( \theta \)
在複數平面上以A點代表1+Z，\( \overline{OA}=\sqrt{3} \)，向左平移1的B點代表Z，C點代表\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)
根據極式的相除運算，\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)的主幅角為Z和1+Z的主幅角相減
\( ∠COX=∠BOX-∠AOX \) ， \( \theta=∠BOX-\theta \) ， \( ∠BOX=2 \theta \) ， \( ∠BOA=\theta \)
故△AOB為等腰三角形 ， \( \overline{AB}=\overline{BO}=1 \) ， \( \overline{AO}=\sqrt{3} \)，得\( \theta=30^o \)
\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=1(cos60^o+i sin60^o)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
103.02.20補充
當初的PTT文章可以到[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7411[/url]
下載 PTT歷屆教甄試題.rar (204.46 KB)，其中 99高雄市聯招.html 就是代數解法
請問期望值問題
一袋中有6顆黑球，2顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？ 第 18 題：一袋中有 \(6\) 顆黑球，\(2\) 顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？解一：
取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}\)（其中 \(k=0,1,2,3,4,5,6\)），
所求期望值為 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} k\cdot \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{k(7-k)}{28}=2.\)
（數字不大，直接算也還算快！：Ｐ）
解二：
先把 \(2\) 顆白球排一直線，再將 \(6\) 顆黑球「平均分配」到兩顆白球所形成的三個空隙，
由左至右一路取球，至首次取到白球時，取出黑球的個數為 \(2\)，此即為答案。
（解二的想法請參考 [url=https://math.pro/db/thread-976-1-1.html]https://math.pro/db/thread-976-1-1.html[/url] 的第八題。）
註：原本把題目的「一直取到出現白球為止」誤看成「到白求取完為止」，感謝 waitpub 於後方回覆的提醒，本文已修改成正確的答案！
回復 9# weiye 的帖子
謝謝!請問weiye老師
請問weiye老師[url]https://math.pro/db/redirect.php?tid=587&goto=lastpost#lastpost[/url]
最後一個問題的內容 [quote]原帖由 [i]YAG[/i] 於 2011-4-3 05:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2896&ptid=975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問weiye老師
[url=https://math.pro/db/redirect.php?tid=587&goto=lastpost#lastpost]https://math.pro/db/redirect.php?tid=587&goto=lastpost#lastpost[/url]
最後一個問題的內容 [/quote]
這你可能要問寫那個解答的原發文者了，謝謝。^__^
或是版上其他高手，有沒有人對於統計比較熟析的了。^__^
第16題 有人做過嗎 答案好像不是整數
a_n+2=3a_n+1-2a_n , a_2=7, a_6=127 求 a_10回復 12# weiye 的帖子
謝謝你ㄟ我在想想吧!第13題的想法
"C5取2" 記為 C(5,2)試證:
C(2,2)C(n,1)+C(3,2)C(n,2)+C(4,2)C(n,3)+...+C(n+1,2)C(n,n)=n(n+3)*2^(n-3)
考慮 n 人中任取出 k 人 (k=1,2,...,n)，再搭配 n 人以外的某甲後，取出2人的方法數。
左式 = 分類討論 (k=1,2,...,n) 後再加總
右式 = 有取到甲的case + 沒有取到甲的case
= C(n,1)*2^(n-1) + C(n,2)*2^(n-2)
= n*2^(n-1) + n(n-1)*2^(n-3)
= n(n+3)*2^(n-3) 證明完畢。 第 13 題：試證 \(C^2_2 C^n_1 + C^3_2 C^n_2 + C^4_2 C^n_3 + \cdots +C^{n+1}_2 C^n_n=n(n+3) 2^{n-3}\)
證明：
左式 \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n C^{k+1}_2 C^n_k\)
\(\displaystyle= \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)k}{2} C^n_k\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{k(k-1)+2k}{2} C^n_k\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n n(n-1) C^{n-2}_{k-2}+\sum_{k=1}^n n C^{n-1}_{k-1}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}n(n-1)\cdot 2^{n-2} + n\cdot 2^{n-1}\)
\(\displaystyle=n(n+3) 2^{n-3}\)
使用此技巧的相似考題：
1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
[url]https://math.pro/db/thread-62-1-5.html[/url]
2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
[url]https://math.pro/db/thread-401-1-5.html[/url]
3. 求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值
[url]https://math.pro/db/thread-941-1-1.html[/url]
4.
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322[/url] [quote]原帖由 [i]YAG[/i] 於 2011-4-9 10:59 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2905&ptid=975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
a_n+2=3a_n+1-2a_n , a_2=7, a_6=127 求 a_10 [/quote]
第16題答案應該是2047 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-3-23 07:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2883&ptid=975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 18 題：一袋中有 \(6\) 顆黑球，\(2\) 顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？
解一：
取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 ... [/quote]
請問這題題目是說"[color=darkred]一直取到出現白球為止[/color]"，算法是不是有問題?我算出來的答案是兩顆?
回復 18# waitpub 的帖子
喔～對耶，我把題目看成「到取完白球為止」，我看錯了，馬上來修改！XD回復 2# bugmens 的帖子
第一題詳解今年高雄市又考這題YA
8分馬上入帳
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 11:35 AM 編輯 [/i]]