99萬芳高中
題目和答案如附件 1.已知一三角形三高長為\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，\( \displaystyle \frac{1}{5} \)，\( \displaystyle \frac{1}{7} \)，求此三角形面積為。[出處，97高中數學能力競賽 台中區筆試二試題]
3.若\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)，則\( f(x) \)的最小值為。
88高中數學能力競賽 台北市筆試二試題
[url=http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_TaipeiCity_02.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf[/url]
95台中高農，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421
96彰師附工，
97文華高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
都考過這題
4.ABCD為正方形，P為內部一點，\( \overline{PA}=3 \)，\( \overline{PB}=4 \sqrt{2} \)，\( \overline{PD}=5 \sqrt{2} \)，求正方形ABCD的面積為。
[提示]
將△PAB以A點順時針旋轉\( 90^o \)，B點和D點重合
已知E為正方形ABCD內部一點，\( \overline{AE}=1 \)，\( \overline{BE}=5 \)，\( \overline{CE}=7 \)，求正方形ABCD的邊長？
(97玉井商工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48752)
101.10.31補充
已知P為正方形ABCD內部一點，若\( \overline{AP}=\sqrt{10} \)、\( \sqrt{BP}=2 \)、\( \overline{CP}=\sqrt{2} \)，則正方形ABCD的面積為[u] [/u]平方單位
(101北區學測第二次模擬考)
7.求\( 6^{99}+7^{99}+8^{99} \) 除以 343 的餘數？
試求49除\( 6^{98}+8^{98} \)的餘數
(94高中數學能力競賽 高屏區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Pingtung_02.pdf
11.求\( x^2-4xy+6y^2-2x-20y=29 \)的正整數解共幾組。
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795[/url]
求方程式\( x^2-xy+y^2+x-2y=0 \)的全部整數解。
(建中通訊解題 第50期)
滿足\( a^2+b^2-a-8b-2ab+16=0 \)且\( 0<a,b<100 \)的正整數\( a,b \)中，a的最大值為何？
(91高中數學能力競賽 桃竹苗區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_02.pdf
試求方程式\( \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} \)的所有整數解\( (x,y) \)
95嘉義高工，95基隆高中，[url=https://math.pro/db/thread-865-1-3.html]https://math.pro/db/thread-865-1-3.html[/url]
12.一橢圓兩焦點為\( F_1 (-3,5) \)，\( F_2 (-10,9) \)且與\( y=x \)相切，求橢圓的長軸長
我的教甄準備之路 圓錐曲線的光學性質
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807[/url]
14.對於任何一個三位數n，定義\( f(n) \)為n的三個數字和加上兩兩乘積再加上三個數字的乘積。求使得\( \displaystyle \frac{f(n)}{n}=1 \)的三位數共幾個？
[出處，建中通訊解題 第73期]
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795[/url]
101.6.24補充
16.
設方程式\( x^4+x+1=0 \)的四個複數根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，若\( P(x)=x^2-3 \)，則\( P(r_1) \times P(r_2) \times P(r_3) \times P(r_4) \)
若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1) \times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4) \)
(101新化高中，[url=https://math.pro/db/thread-1428-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1428-1-1.html[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-10-31 02:16 PM 編輯 [/i]] 請教第16題的解題思維! 第 16 題：
設方程式 \(x^4+x+1=0\) 的四個複數根為 \(r_1,r_2,r_3,r_4\)。若 \(P(x)=x^2-3\)，則 \(P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)=?\)
解答：
令 \(f(x)=x^4+x+1 = \left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\left(x-r_3\right)\left(x-r_4\right)\)，
因為 \(P(x)=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{3}-x\right)\left(-\sqrt{3}-x\right)\)
所以，所求 \(=P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)\)
\(=\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\times\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\times\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\times\left(\sqrt{3}-r_4\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(\sqrt{3}-r_4\right)\right]\times\left[\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\right]\)
\(=f\left(\sqrt{3}\right)f\left(-\sqrt{3}\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{3}\right)^3+\sqrt{3}+1\right]\cdot\left[\left(-\sqrt{3}\right)^3+\left(-\sqrt{3}\right)+1\right]\)
\(=\left(10+\sqrt{3}\right)\left(10-\sqrt{3}\right)\)
\(=97.\) 提供我的方法
令\( t=x^2 \)，\( t^2+\sqrt{t}+1=0 \)，\( \sqrt{t}^2=-(t^2+1)^2 \)
\( t^4+2t^2-t+1=0 \)是四根平方後的方程式
令\( u=t-3 \)，\( t=u+3 \)代入得\( (u+3)^4+2(u+3)^2-(u+3)+1=0 \)
\( u^4+12u^3+56u^2+119u+97=0 \)是四根平方再減3的方程式
四根之積為97
看起來還是weiye的方法比較好
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 10:08 AM 編輯 [/i]] 第7題除以343的餘數不知如何下手？ 第7題
題目：求 \(6^{99}+7^{99}+8^{99}\) 除以 \(343\) 的餘數？
解答：
\(343=7^3\)
\(6^{99}=\left(7-1\right)^{99}=C^{99}_0\left(-1\right)^{99}+C^{99}_1\left(-1\right)^{98}7+C^{99}_2\left(-1\right)^{97}7^2+7^3 m_1\)，其中 \(m_1\) 為整數。
\(7^{99}=7^3\times7^{96}.\)
\(8^{99}=\left(7+1\right)^{99}=C^{99}_0+C^{99}_1 7+C^{99}_27^2+7^3 m_2\)，其中 \(m_2\) 為整數。
因此，\(6^{99}+7^{99}+8^{99}=2C^{99}_1 7 + 7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right)=1386+7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right).\)
故，所求即為 \(1386\) 除以 \(343\) 之餘數，為 \(14.\) 太感謝 感謝瑋岳大 和 bugmen 老師的解說 再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了
如果硬要由PABC解內切球半徑是不是計算上面會比較複雜? [quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2010-6-23 05:02 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2274&ptid=969][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0, ... [/quote]
第五題：
10 球扣掉要選取的四個號碼，則有六個號碼不被選取，
先將六個不被選取的球排成一列，再將四個有特別標記的球插空隙，
則有 \(C^7_4=35\) 種方法。
每一種直線排列的方法，由左至右，將 10 球分別寫上 0~9 號，
則有標記的號碼球，就是被選取的號碼。
所以，共有 35 種選取的方法。
第17題的第四小題，
[quote]四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了[/quote]
後半段我把它寫完，
應該是指：利用內切球球心 \(Q(t,t,t)\,(t>0)\) 到平面 \(\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\) 的距離為 \(t\)
求得較小的 \(t\) 值即為所求。
不然也可以如下，
設內切球球心為 \(Q\)，則可以利用四個小四面體體積和＝四面體 PABC的體積。
求得內切球半徑。
第八題
[quote]第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?[/quote]
我覺得這樣的作法就很快了，
不然硬要想一個另解的話，
如下，（雖然我覺得沒有比較快 :P）
先將橢圓上的點設成動點 \(P\) （參數式），
再刻意找一條斜率是 \(-1\) 且與橢圓沒有交點直線例如 \(L:\, x+y+1000000=0\) 好了，
然後利用點到線的距離求 \(P\) 到 \(L\) 的最大與最小距離。（中間會用到疊合）
則最大與最小距離之差，即為所求。
（搞了半天，還是原本常用的方法比較直覺。＝＝） 不然硬要想一個另解的話，
如下，（雖然我覺得沒有比較快 :P）
先將橢圓上的點設成動點 [i][font=Times New Roman][size=4]P[/size][/font][/i]
（參數式），
再刻意找一條斜率是 −1 且與橢圓沒有交點直線例如L:x+y+100000=0好了，
然後利用點到線的距離求P到L的最大與最小距離。（中間會用到疊合）
則最大與最小距離之差，即為所求。
（搞了半天，還是原本常用的方法比較直覺。＝＝）
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感謝weiye大的思考
我剛才想到
如果距離公式不加絕對值的話
是否為線右為正線左為負
所以(x+y)/根號2代表橢圓上的點與x+y=0的"有向"距離
此時的x=2+3cos(alpha),y=-1+4sin(alpha)為橢圓的參數式
因為橢圓為封閉曲線
因此有最大值與最小值
則最大值與最小值相減,就是這個橢圓的投影長了....
不知道這樣能不能用?
[[i] 本帖最後由 八神庵 於 2010-6-23 07:35 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2010-6-23 07:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2278&ptid=969][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如果距離公式不加絕對值的話
是否為線右為正線左為負
所以(x+y)/根號2代表橢圓上的點與x+y=0的"有向"距離
此時的x=2+3cos(alpha),y=-1+4sin(alpha)為橢圓的參數式
因為橢圓為封閉曲線
因此有最大值與最小值
則最大值與最小值相減,就是這個橢圓的投影長了....
不知道這樣能不能用? [/quote]
可以呀，哈，好一個有向距離，
這樣就不用像我上面舉的例子（L: x+y+1000000=0）硬要把橢圓根直線分開了。 這個公式，大家都沒有背嗎??
已知斜率m的切線為
\( y=mx+\sqrt{m^2a^2+b^2} \)
\( y=mx-\sqrt{m^2a^2+b^2} \) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2010-6-23 08:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2282&ptid=969][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這個公式，大家都沒有背嗎??
已知斜率m的切線為
\( y=mx+\sqrt{m^2a^2+b^2} \)
\( y=mx-\sqrt{m^2a^2+b^2} \) [/quote]
哈，有呀，不過八神庵要另解，
只好硬生一個另解出來。 :p 老王大的是正規公式解,大概只花一分鐘就算出來了
不過一題有多種想法也很是很好玩的....
(PS1.那個有向距離是由微積分的有向面積聯想出來的)
(PS2.不過如果沒有weiye大先想出來一個想法,要我想後面根本是不可能的事,所以感謝大家的幫忙) 請教第4題
是令\(\angle APB=\alpha,\angle APD=\beta,\)然後用
\(cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta\)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來
97玉井商工那題我也不很懂為什麼P點是落在對角線上...@@
請知道的老師教教我....謝謝~~ 請教第4題
是令\( \angle APB=\alpha,\angle APD=\beta \)然後用
\( cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來
97玉井商工那題我也不很懂為什麼P點是落在對角線上...@@
請知道的老師教教我....謝謝~~ [quote]原帖由 [i]idontnow90[/i] 於 2010-7-6 01:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2376&ptid=969][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第4題
是令\( \angle APB=\alpha,\angle APD=\beta \)然後用
\( cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來
[/quote]
按照bugmens大的方法
你把三角形PAB以A點為旋轉中心,由B向D的方向旋轉並使B,D重合
此時在正方形的AD邊外有一點P'....是原本三角形PAB的P點
連PP',可得三角形PAP'為等腰直角三角形(因為AP=AP',角PAP'=所旋轉的90度)
斜邊PP'=3根號2
因此三角形PP'D為直角三角形(P'D=PB=4根號2,PD=5根號2,再加上剛才算的PP'=3根號2所得)
其中角PP'D=90度
角AP'D=135度
在三角形AP'D中
利用餘弦定理可以求得AD平方,恰為正方形之面積 [quote]原帖由 [i]idontnow90[/i] 於 2010-7-6 01:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2376&ptid=969][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
97玉井商工那題我也不很懂為什麼P點是落在對角線上...@@
請知道的老師教教我....謝謝~~[/quote]
有請星夜姐姐幫忙
[url=http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22801]http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22801[/url]