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早晚都要做的事,晚做不如早做。
假如你做了,你就會有力量。

bugmens 發表於 2010-6-19 09:53

99建國中學

題目和答案如附件

bugmens 發表於 2010-6-19 09:55

填充題
1.求使得\( 2^n+2^{16}+2^{19} \)為完全平方數的正整數n?

試求所有的正整數\(n\)使得\( x=2^8+2^{11}+2^n \)為一完全平方數。
(2006TRML團體賽)

若n為正整數,且\( 4^{n-2}+2^8+1 \)為一完全平方數,則n的最大值為多少?
(2005TRML接力賽)

使得\( 4^{97}+4^{2008}+4^n \)為完全平方數的最大正整數n為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
[url=https://math.pro/db/thread-919-1-2.html]https://math.pro/db/thread-919-1-2.html[/url]

求最大自然數n,使得\( 4^{2009}+4^{2008}+4^n \)是完全平方數
(建中通訊解題第68期)

108.4.27補充
\(n\)為正整數,已知\(2^2+2^n+2^{10}\)為完全平方數,\(n\)的最大值與最小值之和為[u]   [/u]。
(108彰化女中,[url]https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html[/url])

2.將\( n^2 \)個正數排成一個\( n \times n \)階方陣,其中每一列的數成等差,每一行的數成等比,且所有的公比皆相等。已知\( a_{24}=1 \),\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \),\( S=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} \),若\( \displaystyle S+\frac{1}{2^{10}} \)的和為一正整數,則n之值為。
[出處,1990大陸高中數學競賽]

解答可以到[url=https://math.pro/db/thread-919-1-2.html]https://math.pro/db/thread-919-1-2.html[/url] 下載"97高中數學能力競賽補充資料.rar"


3.如圖,兩個全等之矩形置於一直角三角形內,並使其一長邊各與三角形之一股重合。設兩股長a,b可以調整,又設矩形短邊長為mb,則m之最大值為。
[出處,97高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題]


4.若兩圖形\( y=f(x)=a^x \)與\( y=g(x)=log_a x \)有唯一的交點,則不為1的正實數a之範圍為。

指數函數\( y=f(x)=a^x \)與對數函數\( y=g(x)=log_a x \),若已知\( f(x) \)與\( g(x) \)相交三點,求實數a的範圍。
(97中一中)


7.某特徵(如拇指是否可以彎曲)是根據一對基因來分類的,若A,a分別代表顯性及隱性基因,則某人有AA之基因稱為純顯性,Aa(同為aA)稱為混合型,aa稱為純隱性。外觀上,Aa和AA都有這個特徵。孩子從父母各得一因子,假設AA,Aa,aa之人口比例分別為\( \displaystyle \frac{1}{4} \),\( \displaystyle \frac{1}{2} \),\( \displaystyle \frac{1}{4} \),且婚配與否和此特徵無關。若有一對夫妻他們4個小孩中有3個具顯性特徵,求此對夫妻皆為混合型之機率為。
[出處,97高中數學能力競賽 台中區筆試二試題]


9.若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2 cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \),\( n \in N \),則n=。
[提示]
\( \displaystyle z=cos \frac{2\pi}{7}+isin \frac{2\pi}{7} \)是\( z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0 \)的一根
同除\( z^3 \),\( \displaystyle z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0 \)
\( (z+\frac{1}{z})^3-3(z+\frac{1}{z})+(z+\frac{1}{z})^2-2+(z+\frac{1}{z})+1=0 \)
\( (z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=0 \)

令\( \displaystyle t=z+\frac{1}{z}=2 cos \frac{2 \pi}{7} \)是\( t^3+t^2-2t-1=0 \)的一根
只是要找出\( t=1.246979603717467 \)這個近似值就比較麻煩了

2011.4.17感謝moun9指正
\( \displaystyle z=cos \frac{\pi}{7}+isin \frac{\pi}{7} \)更正為\( \displaystyle z=cos \frac{2\pi}{7}+isin \frac{2\pi}{7} \)

計算證明題
1.地圖上某一地區有n( \( n \ge 3 \) )個國家相鄰,但n個國家只有一個公共點(如右圖)。現用紅,黃,綠,藍四種顏色給地圖染色,但使相鄰的國家顏色不同,滿足上述染色規則的方法有\( a_n \)種。
(1)試求\( a_3 \)、\( a_4 \)的值。
(2)試求數列\( \{ a_n \} \)的遞迴關係式。
(3)求出\( a_n \)的一般項。
[url=https://math.pro/db/thread-499-1-1.html]https://math.pro/db/thread-499-1-1.html[/url]

老王 發表於 2010-6-19 14:15

填充八參考作法
[url=http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3429&prev=3437&next=3421]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3429&prev=3437&next=3421
[/url]


已知\(A、B、C\)為橢圓Γ:\(x^2+3y^2=156\)上三相異點,若\(A\)點之坐標為\((12,-2)\)且\(\Delta ABC\)有最大面積,則\(\overline{BC}\)邊之長為[u]   [/u]。

荷荷葩 發表於 2010-6-20 08:35

第6題
試問曲線\(x^2+y^2-6x=6 \sqrt{x^2+y^2}\)上的\(P(x,y)\)有多少個點與\(A(8,0)\)距離是整數?
[解答]
\(x=r cos \theta \),\(y=r sin \theta \)化為極坐標
\(r=6(1+cos \theta) \), 為心臟線
如附圖以\( A(8, 0) \)為圓心,半徑 1, 2, 3, ...... 作圓,共有18個交點
只是考場上不能用電腦GeoGebra來作圓

http://learn.jhsh.ntpc.edu.tw/~smath/Question/polar.png
(已修改網址, 北縣改為新北市之後, 所有的 tpc , 都要改為 ntpc)

tsusy 發表於 2012-5-25 23:28

回復 4# 荷荷葩 的帖子

今日練習這份試題,來補一下心臟線這題

填充 6. 以極坐標寫之可得 \( r=6(1+\cos\theta) \)

以原點、曲線上一點和 \( (8,0) \) 為三角形,利用餘弦定理可計算曲線上的點到 \( (8,0) \) 之距離平方

\( \begin{aligned}d(\theta)^{2} & =36(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta)+64-96(\cos\theta+\cos^{2}\theta)\\
& =100-24\cos\theta-60\cos^{2}\theta\\
& =-60(\cos^{2}\theta+\frac{2}{5}\cos\theta+\frac{1}{25})+100+\frac{60}{25}\\
& =-60(\cos\theta+\frac{1}{5})^{2}+\frac{512}{5}.\end{aligned}
\)

所以 \( 16\leq d^{2}\leq\frac{512}{5} \),且在 \( [-1,-\frac{1}{5}] \) 和 \( [-\frac{1}{5},1] \) 皆為單調函數。

\( d(-1)=8 \), \( d(-\frac{1}{5})=\frac{32}{\sqrt{10}}<11 \), \( d(1)=4\)。

從單調性就可數出距離 5-10, 10-9 上下對稱各兩點,及距離 4, 8 x 軸上各一點

因此共 \( 8\times2+2=18 \) 個交點。

tsusy 發表於 2013-7-9 23:12

Taylor series 都出現了,那小弟再來補牛頓法好了

填 9. 令 \( x=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7} \),則 \( x+\frac{1}{x}=2\cos\frac{2\pi}{7} \) 且 \( x^{6}+x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=0 \)。

令 \( y=x+\frac{1}{x} \),則 \( y^{3}+y^{2}-2y-1=0 \)。令 \( f(y)=y^{3}+y^{2}-2y-1 \)。

以牛頓法解之:取 \( y_{1}=1 \), \( 1-\frac{f(1)}{f'(1)}=\frac{4}{3} \),取 \( y_{2}=\frac43 \);\( y_{2}-\frac{f(y_{2})}{f'(y_{2})}=\frac{4}{3}-\frac{13}{162}\approx1.25 \),取 \( y_{3}=1.25 \);\( y_{3}-\frac{f(y_{3})}{f'(y_{3})}=\frac{5}{4}-\frac{1}{332}\approx1.246 \)。

\( f(1.24)\approx-0.04 \), \( f(1.25)\approx0.02\)。由勘根定理知有一實根在 (1.24,1.25)

注意該方程式有三根:\( 2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7}, 2\cos\frac{6\pi}{7} \),其中僅 \( 2\cos\frac{2\pi}{7} \) 為正根。故 \( n =124 \)

poemghost 發表於 2013-7-10 10:13

.................................

lyingheart 發表於 2013-7-10 17:44

給23萬個讚。
突然想看悠遊白書,想念小閻王。

lyingheart 發表於 2013-7-10 18:49

那不過就是自我安慰而已,招式一過,就回原形,
不如使用眾神假死之法。

tsusy 發表於 2013-7-11 14:28

方法上,基本上和 7# 的牛頓法精神一樣,一個用牛頓加勘根,一個用二分加勘根。

另外挑個小瑕疵,所以知道 \( 1 < 2\cos \frac{2\pi}{7} <2 \),但上面的式子,並沒有論證到它是這個範圍裡的[color=Red]唯一實根。[/color]

同意,好的帖子是讓讀者看完會有體會的!但,要怎麼樣讀者才會有所體會?

是鉅細靡遺的詳解、撬開門鎖的那把鑰匙,或隱藏背後的原始思考?

或許沒有標準答案,對每位讀者,需要的可能都是不同的吧!?

題外話:泰勒級數的解似乎不見!?

mathca 發表於 2015-12-20 10:55

回復 2# bugmens 的帖子

請教第2題,根據1990大陸高中數學競賽
算到後來,S = 2 -  1 / 2^(n-1)  -  n / 2^n
若S+ 1 / 2^10 為整數,除了n=10、11、12、13、14、.....一個一個代,
是否還有另外看法,感謝。(雖然只代到14就合)

tsusy 發表於 2015-12-20 13:04

回復 11# mathca 的帖子

第二題,合並兩個分數項
\( \frac{n+2}{2^n} = \frac{1}{2^{10}} + \) 整數
檢查 \( n=1,2 \) 不合,而 \( n\geq 3 \) 時,\( \frac{n+2}{2^n}<1 \)
故 \( \frac{n+2}{2^n} = \frac{1}{2^{10}} \Rightarrow n+2 = 2^{n-10} \)

\( n+2 \) 需為 \( 2^k \) 之形式,且 \( n\geq 10 \)

故可能之 n 有 \( 14,30,62,\ldots \),再檢查發現只有 \( n=14 \) 成立,其它 \( 2^{n-10} \) 大於 \( n+2 \)

mathca 發表於 2015-12-20 13:24

回復 12# tsusy 的帖子

感謝。相當清楚。

mathca 發表於 2015-12-28 12:32

回復 1# bugmens 的帖子

請教填充第3題,感謝。

如圖,兩個全等之矩形置於一直角三角形內,並使其一長邊各與三角形之一股重合。設兩股長\(a,b\)可以調整,又設矩形短邊長為\(mb\),則\(m\)之最大值為[u]   [/u]。

thepiano 發表於 2015-12-28 16:05

填充第 3 題
設FH垂直BC於H
利用\(\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{FH}}{\overline{HC}}\),可求出\(m=\frac{{{a}^{2}}-ab}{{{a}^{2}}-ab-{{b}^{2}}}\),剩下的就留給您了

mathca 發表於 2015-12-28 18:24

回復 15# thepiano 的帖子

=>   ma^2-mab-mb^2=a^2-ab
=>   (m-1)a^2 + (b-mb)a -mb^2 = 0  同除 b^2  令 x=a/b
=>   (m-1) x^2 + (1-m) x - m =0    x  有解
=>   (1-m)^2 - 4(m-1)(-m) >=0
=>   5m^2 - 6m +1 >=0
=>   m<= 1/5   m>=1(不合)  完成。 感謝。

mathca 發表於 2015-12-31 08:43

回復 1# bugmens 的帖子

請教計算第3題,﹝證明您的結論﹞← 這應該怎麼寫比較好?(一平面割一球直覺就是圓) 感謝。

mathca 發表於 2016-1-6 14:18

回復 3# 老王 的帖子

請教填充第8題(原#3連結已失效),感謝。

thepiano 發表於 2016-1-6 15:23

回復 18# mathca 的帖子

第 8 題
把\({{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=156\)先變換成\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=156\)
\(A\left( 12,-2 \right)\)變換成\(A\left( 12,-2\sqrt{3} \right)\)
利用圓內接正三角形面積最大,求出另二點座標,再變換回去求其長

mathca 發表於 2016-1-6 16:07

回復 19# thepiano 的帖子

感謝,原來伸縮可以解決。

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