99關西高中
請問關西高中的第17題，四面體中兩歪斜線間的距離，能不能給個方向??題目若平面ABC與平面BDC垂直，己知BC=6, AB=AC,<BAC=<BCD=90度,<BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少 [quote]原帖由 [i]ayumi[/i] 於 2010-6-18 11:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2211&ptid=966][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問關西高中的第17題，四面體中兩歪斜線間的距離，能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直，己知BC=6, AB=AC,∠BAC=∠BCD=90度,∠BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少[/quote]
坐標化，令 \(C(0,0,0)\)、\(B(6,0,0)\)、\(A(3,0,3)\)、\(D(0,2\sqrt{3},0)\) [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563[/url]
學校公佈的是考卷的掃描檔，檔案比較大而且不容易閱讀
我重新打字後將檔案附上，這檔案需要安裝LibreOffice才能開啟
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1073[/url] 2.一道光線通過雙曲線的一個焦點\( F(-2,1) \)，射至雙曲線上一點\( P(-4,5) \)，反射後朝A點射去，若此雙曲線中心在\( (1,1) \)，且\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \)，則a點座標為。
[提示]
雙曲線方程式\( \displaystyle \frac{(x-1)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=1 \)
過\( P(-4,5) \)切線方程式為\( x+y=1 \)，法線方程式\( x-y=-9 \)
\( F(-2,1) \)對\( x-y=-9 \)的對稱點為\( (-8,7) \)
過\( (-8,7) \)和\( (-4,5) \)的直線參數式為\( (-4t-4,2t+5) \)
當\( \displaystyle t=\frac{3}{2} \)，\( A(-10,8) \)時，\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \)
感謝八神庵提醒將雙曲線方程式將加改成減
3.擲一個均勻骰子四次，依次得點數a、b、c、d，則出現\( (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0 \)的機率為？
投擲一公正骰子四次，每次出現之點數依次為a、b、c、d，求
(1)滿足\( (a-b)(b-c)(c-d)=0 \)之機率
(2)滿足\( (a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ne 0 \)之機率
(高中數學101 P279，高中數學101修訂版 P285)
9.過橢圓\( x^2+2y^2=8 \)上一點\( P(2,k) \)，作切線L，已知兩焦點F,F'在L上的正射影分別為Q與R，則△PQF與△PRF'面積比為。(其中焦點F在x軸的正向上)
如右圖，L為過Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)上一點\( T(1,k) \)之切線，由二焦點P、Q作L之垂線，垂足為R、S，則a△TPR:a△TQS=？
(高中數學101 P256，高中數學101修訂版 P258)
11.若\( a^2+b^2+c^2=16 \)，\( x^2+y^2+z^2=25 \)且a,b,c,x,y,z均為實數，則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 2 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ \)的最大值為？
若\( a^2+b^2+c^2=9 \)，\( x^2+y^2+z^2=14 \)，且a,b,c,x,y,z均為實數，則(1)\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ \)之Max=？ (2)此時\( ax+by+cz \)之值為？
(96豐原高商，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24772)
113.2.2補充
15.
設實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)，有四個相異虛根，其中兩根的和是\(2+3i\)，另兩根的乘積是\(4+3i\)，則\(b\)值為[u] [/u]。
相關題目[url]https://math.pro/db/thread-456-1-1.html[/url]
麻煩一下! 請問 第13題
平面上有一直徑 \(6\) 的半圓，\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點，\(A\) 為半圓上的中點，在 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{AC}\) 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\)，
使得 \(\overline{PA} : \overline{PB} = \overline{QC} : \overline{QA} =1:2\)，
直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點，求 \(QR=\)？
[color=cyan]3Q各位高手,本來以為在圓周上[/color] [quote]原帖由 [i]diow[/i] 於 2010-8-22 12:24 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2577&ptid=966][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
平面上有一直徑 \(6\) 的半圓，\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點，\(A\) 為半圓上的中點，
在 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{AC}\) 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\)，
使得 \(\overline{PA} : \overline{PB} = \overline{QC} : \overline{QA} =1:2\)，
直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點，求 \(QR=\)？ [/quote]
設坐標系，
令 \(A(0,3)\)、\(B(-3,0)\)、\(C(3,0)\)，由分點公式可得 \(P(-1,2)\)、\(Q(2,1)\)
因此 \(\overleftrightarrow{PQ}:\,x+3y=5\) ，其交 \(x\) 軸於 \(R(5,0)\)，
故，\(\overline{QR}=\sqrt{10}.\)
用坐標方式來算
鋼琴兄已於 2010.6.20 以幾何方式解出來, 如下網址[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563[/url]
此題也可用坐標方式來算
以B,C中點為原點, 把A,B,C標出坐標: A(0,3), B(-3,0), C(3, 0)
用分點公式可得P(-1,2), Q(2,1) ,
PQ之直線方程式為 x+3y=5 和 X軸交於 R(5,0)
QR之長 即可 算出為 根號 10
[[i] 本帖最後由 荷荷葩 於 2010-8-22 10:04 AM 編輯 [/i]]
第1 題如何思考解題
1. 一箱內有編號分別為 \(1\) 至 \(19\) 的十九個球，每次隨機取出一個球，紀錄其編號後放回箱內，以 \(P(n)\) 表示前 \(n\) 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 \(r\)、\(s\) 使得 \(P(10)=r+s P(9)\)，則 \(2r-s=\)______。 [quote]原帖由 [i]diow[/i] 於 2010-8-22 11:32 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2580&ptid=966][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]1. 一箱內有編號分別為 \(1\) 至 \(19\) 的十九個球，每次隨機取出一個球，紀錄其編號後放回箱內，以 \(P(n)\) 表示前 \(n\) 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 \(r\)、\(s\) 使得 \(P(10)=r+s P(9)\)，則 \(2r-s=\) ______。[/quote]
解答：
第十球為偶數的機率為 \(\displaystyle\frac{9}{19}\)，第十球為奇數的機率為 \(\displaystyle\frac{10}{19}\)，
前九球和為偶數的機率為 \(P(9)\)，前九球和為奇數的機率為 \(1-P(9)\)，
\(\displaystyle P(10)=\frac{9}{19}P(9)+\frac{10}{19}\left(1-P(9)\right)\)
\(\displaystyle=\frac{10}{19}+\left(\frac{-1}{19}\right)P(9).\)
\(\displaystyle\Rightarrow r=\frac{10}{19},\, s=\frac{-1}{19}.\) 如果把第 13 題的題目稍微修改一下，將 \(P,Q\) 改置於圓周上，也是不錯的考題：
修改版題目：平面上有一直徑 \(6\) 的半圓，\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點，\(A\) 為半圓上的中點，
在 \(AB\)弧 和 \(AC\)弧 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\)，
使得 \(\overline{PA} : \overline{PB} = \overline{QC} : \overline{QA} =1:2\)，
直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點，求 \(\overline{QR}=\)？
解答：
如圖，依題意可得 \(\overline{PB}=\overline{QA}=2\overline{PA}=2\overline{QC}\)，
因此 \(∠ POQ = 90^\circ\)，可得 \(\overline{PQ}=3\sqrt{2}.\)
在 \(\triangle QCR\) 與 \(\triangle BPR\) 中，
因為 \(∠ R\) 相同且 \(∠ QCR=180^\circ-∠ QCO=∠ BPR\)
所以 \(\triangle QCR\) 相似於 \(\triangle BPR\)，
且因為 \(\overline{PB}:\overline{QC}=2:1\)，所以 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{\overline{PR}}{2}\)，
令 \(\overline{QR}=x\)，則 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}.\)
由圓的外冪性質，可得 \(\overline{QR}\times \overline{PR}=\overline{CR}\times \overline{BR}\)，
\(\displaystyle \Rightarrow x\cdot\left(x+3\sqrt{2}\right)=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{x+3\sqrt{2}}{2}+6\right)\)
可解得 \(x=4+\sqrt{2}.\) 想請教此張考卷的題目6,10,15 ,感謝
6.
若\(\displaystyle \alpha=\sum_{k=0}^{1000}2^k C_k^{1000} \)，\( \alpha \)的最高位數字是\( x \)，個位數是\( y \)，且\( z=x-yi \)，今有複數\( \omega \)，且\( |\; \omega+2-3i |\;=1 \)，則\( |\;z-\omega |\; \)的最小值是。
10.
設\( \displaystyle \frac{\pi}{4}\le x le \frac{5\pi}{12} \)，則\( \displaystyle f(x)=sin2x \cdot tanx+sinx \cdot tan \frac{x}{2} \)的最小值為。
15.
設實係數方程式\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)，有四個相異虛根，其中兩根的和是\( 2+3i \)，另兩根的乘積是\( 4+3i \)，則\( b \)值為。
回復 15# pizza 的帖子
第 6 題\(\displaystyle \alpha=\sum_{k=0}^{1000}2^k C_k^{1000}=(1+2)^{1000}\)
\(\log \alpha = 1000 \log 3\approx 1000\times 0.4771 = 477.1 = 477 + 0.1\)
且因為 \(\log 1<0.1< \log 2\)，所以 \(\alpha\) 的最高位數字為 \(1\)
\(3^{1000} = (3^2)^{500} = (10-1)^{500} \equiv (-1)^{500} \equiv 1 \pmod{10}\)
\(\Rightarrow \alpha\) 的個位數字為 \(1\)
因此 \(z=1-i\)，
在複數平面上，\(\omega\) 所表示的是「以 \(-2+3i\) 為圓心，\(1\) 為半徑的圓周上的動點」
因此 \(\left|z-\omega\right|\) 的最小值為 \(\sqrt{\left(1-\left(-2\right)\right)^2+\left(\left(-1\right)-3\right)^2}-1=4.\)
回復 15# pizza 的帖子
第 10 題\(\displaystyle f(x)=\sin 2x\cdot\tan x+\sin x\cdot\tan\frac{x}{2}\)
\(\displaystyle =2\sin x\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle =2\sin^2 x + 2\cdot\sin^2\frac{x}{2}\)
\(\displaystyle =2\left(1-\cos^2 x\right) + 1-\cos x\)
令 \(t=\cos x\)，
因為 \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{5\pi}{12}\)，
所以 \(\displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}\leq \cos x\leq \cos\frac{\pi}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\leq t\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle f(x)=2\left(1-t^2\right)+\left(1-t\right)=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}\)
畫出開口向下拋物線的圖形（圖略），可以發現頂點不在限制範圍內，
因此，
當 \(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt 2}\) 時，\(f(x)\) 有最小值為 \(\displaystyle \frac{4-\sqrt{2}}{2}.\)
回復 15# pizza 的帖子
第 15 題同 [url]https://math.pro/db/thread-456-1-1.html[/url]
回復 1# ayumi 的帖子
請教填充第8題，感謝。回復 15# mathca 的帖子
第8題設該整數根為\(n\)
\(\begin{align}
& {{n}^{2}}-\left( 3+\sqrt{2} \right)n+\sqrt{2}m-4=0 \\
& \left( {{n}^{2}}-3n-4 \right)+\left( m-n \right)\sqrt{2}=0 \\
& {{n}^{2}}-3n-4=0\ and\ m-n=0 \\
& m=n=4\ or\ -1 \\
\end{align}\)
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