99松山工農
題目如附件 2.設\( \overline{AB} \)的長度為d，P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點，且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)的最小值，並求此時θ和x的值。
[提示]
\( \displaystyle sin \theta+cos \theta =\frac{x}{d} \)，\( \displaystyle sin \theta \cdot cos \theta=\frac{1}{2} \Bigg(\; \frac{x^2}{d^2}-1 \Bigg)\; \)
令\( f(n)=sin^n \theta+cos^n \theta \)，\( f(n)=(sin \theta+cos \theta)f(n-1)-(sin \theta \cdot cos \theta)f(n-2) \)
\( \displaystyle f(1)=\frac{x}{d} \)，\( f(2)=1 \)
\( \displaystyle f(3)=-\frac{x^3}{2d^3}+\frac{3x}{2d} \)
\( \displaystyle f(4)=-\frac{x^4}{2d^4}+\frac{x^2}{d^2}+\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle f(5)=-\frac{x^5}{4d^5}+\frac{5x}{4d} \)
\( \displaystyle f(6)=-\frac{3x^4}{4d^4}+\frac{3x^2}{2d^2}+\frac{1}{4} \)
7.請問\( 0.9<0.\overline{9}<1 \)嗎？並請說明。
[提示]
我們教出的學生說\( 2.\overline{9} < 3 \)
[url=http://www.google.com/search?client=opera&rls=zh-tw&q=%22%E6%95%99%E5%87%BA%E7%9A%84%E5%AD%B8%E7%94%9F%22+%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%82%B3%E6%92%AD&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8]http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8[/url]
8.(2)設n為大於1的自然數，證明\( \displaystyle (n!)^3<n^n \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^{2n} \)
[解答]
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
(98南港高工)
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=342782[/url]
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
\( \displaystyle n!<n^n \)
三式相乘
9.何謂「母體標準差」？何謂「樣本標準差」？請問你如何向學生說明「母體標準差」與「樣本標準差」這兩者公式為何不同？
[提示]
從標準差除以 n 或除以 n - 1 談起
[url=https://math.pro/db/thread-398-1-3.html]https://math.pro/db/thread-398-1-3.html[/url]
[url=http://www.google.com/search?client=opera&rls=zh-tw&q=%E5%BE%9E%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%B7%AE%E9%99%A4%E4%BB%A5+n+%E6%88%96%E9%99%A4%E4%BB%A5+n+-+1+%E8%AB%87%E8%B5%B7&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8]http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-26 11:16 PM 編輯 [/i]]
請問第 3 ，4，5，8之(1) 應如何做，謝謝。
請問第 3 ，4，5，8之(1) 應如何做，感謝各位高手幫忙。 [quote]原帖由 [i]Jacob[/i] 於 2010-6-18 08:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2207&ptid=965][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問第 3 ，4，5，8之(1) 應如何做，感謝各位高手幫忙。 [/quote]
8之(1)是n維空間的三角不等式 第 1,3,4 題，見 thepiano 老師所解的 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950[/url]
第 5 題
題目：設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數，\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根，若 \(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=0\)，試問在複數平面上表示 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的三點成什麼圖形？
解答：
因為 \(1=-\omega-\omega^2\)
所以 \(\displaystyle\omega^2\left(\gamma-\alpha\right)= -\omega\left(\beta-\alpha\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow\left(\gamma-\alpha\right) = -\frac{1}{\omega}\left(\beta-\alpha\right)\)
\(\displaystyle= \left(-\cos\left(-120^\circ\right) - i \sin\left(-120^\circ\right)\right)\left(\beta-\alpha\right)\)
\(\displaystyle= \left(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ\right)\left(\beta-\alpha\right)\)
若將 \(\alpha, \beta, \gamma\) 都平移到以 \(\alpha\) 為新原點，
則平移後之 \(\beta\) 點坐標與 \(\gamma\) 點坐標，剛好是以新原點為圓心旋轉 \(60^\circ\) 之關係，
故， \(\alpha,\beta,\gamma\) 三點形成的圖形為正三角形。
感謝 瑋岳老師的講解
感謝 瑋岳老師的講解回復 5# weiye 的帖子
為何有些字看不到呢？請問要如何處理？
回復 7# moemiau 的帖子
jsMath 是透過 JavaScript 在執行的，也就是不同的電腦、瀏覽器，
可能顯示效果與速度都會有些微差異，
你可以試試看猶如 [url=https://math.pro/db/announcement.php?id=2]https://math.pro/db/announcement.php?id=2[/url] 所寫，
安裝 TeX 字型，或許會有更好的顯示效果。
（雖然我在家裡沒有安裝 TeX 字型的電腦顯示效果也很好。）
或是改試用不同的瀏覽器看看，如 [url=http://moztw.org/]FireFox[/url] or [url=http://www.google.com.tw/chrome]Chrome[/url]. [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-6-26 01:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2304&ptid=965][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 1,3,4 題，見 thepiano 老師所解的 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950[/url]
第 5 題
題目：設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數，\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根，若 \(\alpha+\omega\) ... [/quote]
唉，第五題
五天前我在知識+回答了，可是晾到今天人家還是不懂~~~ 請問有考的老師知道幾分通過初試嗎?
感謝 [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2010-6-16 11:43 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2200&ptid=965][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
2.設\( \overline{AB} \)的長度為d，P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點，且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)
(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求 ... [/quote]
想請問各位老師,第2題的x函數,我將f(x)作微分找到x=0或+-d,可是,PA+PB=0,必錯,那PA+PB=d,就無法形成三角形了,請問該如何求得最小值,謝謝 第2題：設 \( \overline{AB}\) 的長度為 \(d\)，\(P\) 是以 \(\overline{AB}\) 為直徑的半圓上的一個動點，且 \( ∠PAB=\theta \)。令 \(\overline{PA}+\overline{PB}=x \)，
(1) 將 \( \sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 表示成 \(x\) 的函數。
(2) 求 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值，並求此時 \(\theta\) 和 \(x\) 的值。
解答：
\(\displaystyle x=d\cos\theta+d\sin\theta\Rightarrow \frac{x}{d}=\sin\theta+\cos\theta\leq\sqrt{2}\)
且由 \(\displaystyle x\geq d>0\) ，可得 \(\displaystyle 1\leq\frac{x}{d}\leq\sqrt{2}\Rightarrow1\leq\frac{x^2}{d^2}\leq2.\)
\(\sin^6\theta+\cos^6\theta=\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)^3-3\sin^2\theta\cos^2\theta\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\)
\(\displaystyle=1-3\sin^2\theta\cos^2\theta=1-3\left(\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2-1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\left(\frac{x^2}{d^2}-1\right)^2+1\)
故，
當 \(x=d\) 時，\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最大值為 \(1\)。
當 \(x=\sqrt{2}d\) 時，\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最小值，
此時 \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\)，且由 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\)，
可得 \(\theta=45^\circ\)，且 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值為 \(\displaystyle\sin^6 45^\circ+\cos^6 45^\circ=\frac{1}{4}\)。 請教第五題， w是 1 的立方根，不是應該會有三種情形? 另外兩個就如同 瑋岳老師的解法，但若w=1時，則該如何知道那三點會形成正三角形?
回復 13# mathelimit 的帖子
題目出錯了，應為 w 是 1 的"虛"立方根回復 14# thepiano 的帖子
果然~ 謝謝呀 XD 第八題不等式另解 不曉得這樣的寫法有無哪些地方不合理小弟拙見 還望版上大師賜教
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