99彰化高中兩題
想請教大家以下兩題:1. x^4+x^3-p=0 有有理根，p<50 p為兩位數且為正整數，求p值?
2. 把n個球放進3個相異的箱子中，任兩個箱子內的球數和大於等於另一個箱子內的球數;
(1)當n=2k+1 (2)當n=2k 時，方法數各為何?
目前只想起這兩題,還請高手指點，感謝大家! 題目：\(x^4+x^3-p=0\) 有有理根，\(p<50\) 且 \(p\) 為兩位數且為正整數，求 \(p\) 值?
解答：
因為 \(p\) 為整數，由整系數一次因式檢驗法，可知此有理根必為整數根，令其為 \(\alpha\)，
則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\)
case i: 若 \(\alpha\geq 0\)，則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\geq\alpha^4\Rightarrow 50\geq\alpha^4\Rightarrow \alpha=0, 1, 2\)
且因為 \(p\) 為兩位數正整數，所以 \(\alpha=2\Rightarrow p=24.\)
case ii: 若 \(\alpha<0\)，因為 \(\alpha\) 為整數，所以 \(\alpha\leq -1\Rightarrow \alpha+1\leq0\)
\(\Rightarrow 0\geq \alpha+1>\alpha\Rightarrow 0\geq \left(\alpha+1\right)^3>\alpha^3\)
則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\geq\left(\alpha+1\right)^4\Rightarrow 50\geq\left(\alpha+1\right)^4\Rightarrow \alpha=-1,-2,-3\)
且因為 \(p\) 為小於 \(50\) 的兩位數正整數，所以 \(\alpha=-1,-2,-3\) 都不合。
故，此方程式有一有理根為 \(2\) 且 \(p=24.\)
註：感謝 milkie1013 提醒修正小錯誤。 ^__^ 感謝您唷^^
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