99彰化藝術高中
題目和答案如附件 1.設a為實數，使得\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)形成等比數列，求此公比為？[出處，94高中數學能力競賽 北區第二區 筆試二試題]
13.
\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} \)，若a除以13的餘數為b，求\( b^3+2b \)除以100的餘數為？
[提示]
a化簡後得23!/13，b=7
已知\( n!=1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times n \)；若\( \displaystyle \frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+...+\frac{11}{12!}=\frac{A}{12!} \)，試求A除以10的餘數為何？
(建中通訊解題第62期)
16.p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點，若p在第一象限移動，過p點之切線交X軸於A點，交Y軸於B點，O為原點，求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值？
[解答]
令p(a,b)，\( \displaystyle \frac{a^2}{9}+\frac{b^2}{4}=1 \)
切線\( \displaystyle \frac{a}{9}x+\frac{b}{4}y=1 \)，\( \displaystyle \overline{OA}+\overline{OB}=\frac{9}{a}+\frac{4}{b} \)
廣義科西不等式
\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{a^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\; \frac{b^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\ge \Bigg(\; 9^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}} \Bigg)\;^3 \)
17.θ為銳角，\( \displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{81}{cos^6 \theta}=625 \)，求\( tan \theta \)？
(2005TRML個人賽)
這題可用廣義科西不等式解題
請見 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075[/url] 第4、6、8題請教一下。
請問第3題 9<K 是如何判讀出來的。謝謝。 [quote]原帖由 [i]peter579[/i] 於 2010-7-29 10:42 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2505&ptid=952][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第4、6、8題請教一下。
請問第3題 9 [/quote]
第8題
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=7,\overline{BC}=8,\overline{AC}=9\)，過\(\Delta ABC\)的內心作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\)，分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)於點\(D\)、\(E\)，求\(\overline{DE}=\)[u] [/u]。
[解答]
假設I為內心，AI交BC於P，那麼
AI:IP=(7+9):8=2:1
所以DE=8*(2/3)=16/3
也可以參考一下關於這類三角形的幾個其他的性質
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2909&prev=2915&next=2425&l=f&fid=11 連結已失效
回復 3# peter579 的帖子
4.求\(f(x)=x^{10}-2x^5+3x^2-1\)被\((x+1)^3\)除的餘式=[u] [/u]。
[提示]
提供幾個方向
硬算 XD
二項式定理 \( [(x+1)-1]^{10}-2[(x+1)-1]^5+3[(x+1)-1]^2-1 \)
6.
函數\(f(93)=93\)，每一正整數\(n\)使得\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，求\(f(30)=\)[u] [/u]。
[提示]
\( f(90)+f(93)=90^2 \)
\( f(87)+f(90)=87^2 \)
…
\( f(30)+f(33)=30^2 \)
想辦法消嚕 6
f(93)-f(30)=90^2-(87^2+84^2+……+30^2) 接下來呢…
平方和，好像不行…。研究中…。
第一題是有同樣的題目，但找不到解。研究中。
第十六題 答案為(根號221)/4 ，好像沒有三次方根…有點看不懂。
回復 6# peter579 的帖子
\( f(90)+f(93)=90^2 \) -------- 1\( f(87)+f(90)=87^2 \) -------- 2
\( f(84)+f(87)=84^2 \) -------- 3
\( f(81)+f(84)=81^2 \) -------- 4
.....
1-2+3-4........
try it \(\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9\)
不過，第 6 題，應該是用 iamcfg 上面寫的，再加上平方差公式。
第 16 題答案為第 P 格，其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同，peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^ 謝，第六題看比較懂了。
第一題，有人可以提示一下如何作呢。 第 1 題：
設\(a\)為實數，使得\(a+log_2 3\)、\(a+log_4 3\)、\(a+log_8 3\)形成等比數列，求此公比為[u] [/u]。
[解答]
\( a+\log_2 3 \)，\( a+\log_4 3 \)，\( a+\log_8 3 \)形成等比數列
\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)\)
解得 \(\displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3\)，
因此，數列為 \(\displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3\)，
故，公比為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。 [color=#000000]想請教14 15 17[/color]
[color=#000000]17題bugmens大有說可以利用廣義柯西來做，到底用廣義柯西下手到底要先考慮什麼?[/color]
想我看著17題，想用廣義柯西就是想不出所以然(嘆
感謝解惑!!
板上的高手們幫解惑都讓我感到受益良多，真的非常感謝!!!
回復 11# icesnow1129 的帖子
14h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=506&prev=509&next=505&l=f&fid=17 連結已失效
這篇給你參考
15
點\((3,3)\)在拋物線\(y=x^2+(a+1)x+b\)上(其中\(a,b\)為固定的實數)，且此拋物線上的點\((x,y)\)均滿足\(y\ge x\)，則拋物線的頂點到原點的距離=[u] [/u]。
[解答]
99台北縣簡答第四題，一模一樣的題目，連數字都沒改。
題目的意思就是這個拋物線在(3,3)的切線就是\(y=x\)
計算切線斜率得到\(6+(a+1)=1\)
\(a=-6\)
代入\((3,3)\)得到\(b=9\)
剩下的應該沒問題了
答案是
\(\displaystyle \frac{1}{4} \sqrt{221} \) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-5-13 05:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3128&ptid=952][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
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99台北縣簡答第四題，一模一樣的題目，連數字都沒改。
題目的意思就是這個拋物線在(3,3)的切線就是y=x
計 ... [/quote]
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請問題目說y>=x，為何得知在(3,3)的切線是y=x？
謝謝！ [quote]原帖由 [i]aonzoe[/i] 於 2011-5-15 09:01 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3142&ptid=952][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
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請問題目說y>=x，為何得知在(3,3)的切線是y=x？
謝謝！ [/quote]
(3,3)在拋物線上，如果拋物線和y=x還有其他交點，那麼必然有些點在y=x下方，
就不滿足y>=x的條件，所以拋物線和y=x僅有一個交點。
而y=x和拋物線的軸不平行，所以y=x是拋物線的切線。
回復 14# 老王 的帖子
我是用y=x^2+(a+1)x+b>=x
即y=x^2+ax+b>=0 =>a^2-4b<=0
推得a,b值
你的方法快多了，謝謝！ 想請教第9題和第10題
第9題除了傻傻的硬算
我最多用了個反矩陣還是要算蠻久的
應該有更快的方法??
第10題完全不知道在問什麼!@@
請老師們給我點方向
謝謝
[color=#a0522d]自解一下第9題[/color]
[color=#a0522d]剛剛想到可以用線代的特徵方程式[/color]
[color=#a0522d]det(A-xI)=0[/color]
[color=#a0522d][/color]
[color=#a0522d]這樣快很多[/color]
回復 16# ejo3vu84 的帖子
第10題一多面體，每一頂點均由2個正方形及1個正五邊形所組成，求此多面體有幾個頂點[u] [/u]。
[解答]
假設有\(x\)個正方形以及\(y\)個正五邊形構成
跟正五邊形相鄰的面，必然是正方形，否則就有頂點會接到兩個正五邊形；
跟正方形相鄰的四個面，必然是正五邊形、正方形、正五邊形、正方形，就是兩個正五邊形兩個正方形。
所以計算正方形和正五邊形相鄰的邊，從正方形的觀點是\(2x\)；
從正五邊形的觀點是\(5y\)，故有\(2x=5y\)
頂點數為\(\displaystyle V=\frac{4x+5y}{3}=2x\)
邊數為\(\displaystyle E=\frac{4x+5y}{2}=3x\)
面數為\(F=x+y\)
代入尤拉公式\(V-E+F=2\)得到\(y=2\)
故有\(x=5\)，頂點數為10
回復 17# 老王 的帖子
謝謝老王~~終於懂他在問什麼了@@"
感恩!!
第13題還是算不出來,請教老師可以說明得更詳細嗎,謝謝
[quote]原帖由 [i]maymay[/i] 於 2011-6-8 10:46 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3437&ptid=952][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url][/quote]
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1528]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1528[/url]